Aufgabe:
Problem/Ansatz:
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LANDESSERVICESTELLELERNORTE DES ERINNERNS UND GEDENKENS geg. : 2x2−3x=f(x)x0=2 \begin{aligned} \text { geg.: } 2 x^{2}-3 x=f(x) \\ & x_{0}=2 \end{aligned} geg. : 2x2−3x=f(x)x0=2f(x0+h)−−f(x0)h \frac{f\left(x_{0}+h\right)^{-}-f\left(x_{0}\right)}{h} hf(x0+h)−−f(x0)a) f(3) f(3) f(3)limh→0f(2+h)−f(2)h \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} h→0limhf(2+h)−f(2)2⋅22−3⋅2+h−2h2⋅(2+h)2−3⋅2−2h \frac{\frac{2 \cdot 2^{2}-3 \cdot 2+h-2}{h}}{\frac{2 \cdot(2+h)^{2}-3 \cdot 2-2}{h}} h2⋅(2+h)2−3⋅2−2h2⋅22−3⋅2+h−2
f ( x ) = 2*x2 - 3*xWillst du jetzt die Steigung bei x = 2oderx = 3 wissen ?
Zur Kontrollef ´( x ) = 4*x - 3f ´( 2 ) = 4*2 - 3 = 5f ´( 3 ) = 4*3 - 3 = 9
Bei Bedarf nachfragen.
limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→02h2+5hh=limh→0(5h+5)=5\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{2h^2+5h}{h}=\lim_{h\to 0} (5h+5)=5h→0limhf(2+h)−f(2)=h→0limh2h2+5h=h→0lim(5h+5)=5
f(x)=2x2−3xm[x;x+h]=f(x+h)−f(x)hm[x;x+h]=(2(x+h)2−3(x+h))−(2x2−3x)hm[x;x+h]=2(x+h)2−3(x+h)−2x2+3xhm[x;x+h]=2(x2+2xh+h2)−3x−3h−2x2+3xhm[x;x+h]=2x2+4xh+2h2−3x−3h−2x2+3xhm[x;x+h]=4xh+2h2−3hhm[x;x+h]=4x+2h−3Fu¨r h → 0 ergbibt sichm[x]=4x−3Hier brauchen wir nur noch einsetzen.m[2]=4⋅2−3=8−3=5f(x) = 2x^2 - 3x \newline m[x ; x+h] = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{(2(x+h)^2 - 3(x+h)) - (2x^2 - 3x)}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2(x+h)^2 - 3(x+h) - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2(x^2 + 2xh + h^2) - 3x - 3h - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{4xh + 2h^2 - 3h}{h} \newline m[x ; x+h] = 4x + 2h - 3 \newline \text{Für h → 0 ergbibt sich} \newline m[x] = 4x - 3 \newline \text{Hier brauchen wir nur noch einsetzen.} \newline m[2] = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5f(x)=2x2−3xm[x;x+h]=hf(x+h)−f(x)m[x;x+h]=h(2(x+h)2−3(x+h))−(2x2−3x)m[x;x+h]=h2(x+h)2−3(x+h)−2x2+3xm[x;x+h]=h2(x2+2xh+h2)−3x−3h−2x2+3xm[x;x+h]=h2x2+4xh+2h2−3x−3h−2x2+3xm[x;x+h]=h4xh+2h2−3hm[x;x+h]=4x+2h−3Fu¨r h → 0 ergbibt sichm[x]=4x−3Hier brauchen wir nur noch einsetzen.m[2]=4⋅2−3=8−3=5
f(x)=2x2−3xf(3)=2⋅32−3⋅3=2⋅9−9=9f(x) = 2x^2 - 3x \newline f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 9 = 9f(x)=2x2−3xf(3)=2⋅32−3⋅3=2⋅9−9=9
H-Methode
limh→0f(x0+h)−f(x0)hx0=2limh→0 f(2+h) − f(2)hf(x)=2x2−3xlimh→0 2(2+h)2−3(2+h) − (2⋅22−3⋅2)hlimh→0 2(4+4h+h2)− (6+3h) − (8−6)hlimh→0 8+8h+2h2− 6−3h − 2hlimh→0 8 +5h+2h2− 8 hlimh→0 5h+2h2h= h (5+2h) h limh→0 5+2h=5\huge\lim{\text{h} \to 0} \frac{\text{f}(\text{x}_0+\text{h})-\text{f}(\text{x}_0)}{\text{h}} \\\large x_0 = 2 \\\huge\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{\text{f}(2+\text{h})\,-\,\text{f}(2)}{\text{h}} \\\large f(x) = 2x^2-3x \\\huge\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{2(2+\text{h})^2-3(2+\text{h})\,-\,(2\cdot2^2-3\cdot2)}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{2(4+4\text{h}+\text{h}^2)-\,(6+3\text{h})\,-\,(8-6)}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{8+8\text{h}+2\text{h}^2-\,6-3\text{h}\,-\,2}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{\bcancel{\,8\,}+5\text{h}+2\text{h}^2-\,\bcancel{\,8\,}}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{5\text{h}+2\text{h}^2}{\text{h}} = \frac{\bcancel{\text{\,h\,}}(5+2\text{h})}{\bcancel{\text{\,h\,}}} \\\lim{\text{h} \to 0}\,\, 5+2\text{h} = 5 limh→0hf(x0+h)−f(x0)x0=2limh→0hf(2+h)−f(2)f(x)=2x2−3xlimh→0h2(2+h)2−3(2+h)−(2⋅22−3⋅2)limh→0h2(4+4h+h2)−(6+3h)−(8−6)limh→0h8+8h+2h2−6−3h−2limh→0h8+5h+2h2−8limh→0h5h+2h2=hh(5+2h)limh→05+2h=5
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