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Hey Zusammen, kann mir jemand eventuell die folgende Aufgabe vorrechnen?


Zeigen Sie, dass die Menge \( M=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x=4+\frac{(-1)^{n}}{n}, n \in \mathbb{N}\right\} \) beschränkt ist. Hat \( M \) ein kleinstes Element oder ein größtes Element? Begründen Sie Ihre Entscheidung.


LG Felix

von

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Aloha :)

$$\red{-1}=\frac{(-1)^1}{1}\le\pink{\frac{(-1)^n}{n}}\le\frac{(-1)^2}{2}=\green{\frac12}\quad\stackrel{(+4)}{\implies}\quad\red3\le\pink{4+\frac{(-1)^n}{n}}\le\green{\frac92}$$

Die Folge ist beschränkt. Für \(n=1\) wird das kleinste Element \(3\) angenommen und für \(n=2\) wird das größte Element \(\frac92\) angenommen.

von 128 k 🚀

Und was hindert mich dran ein beliebiges n einzusetzen oder muss ich das immer mit 1 prüfen ? Danke aber schonmal :)

Die Folge \(\frac{(-1)^n}{n}\) wird vom Betrag her immer kleiner, tendiert also zur Null.

Für ungerade \(n\) nähert sich die Folge von links der Null:$$\frac{(-1)^1}{1}=-1<\frac{(-1)^3}{3}=-\frac13<\frac{(-1)^5}{5}=-\frac15<\cdots$$

Für gerade \(n\) nähert sich die Folge von rechts der Null:$$\frac{(-1)^2}{2}=\frac12>\frac{(-1)^4}{4}=\frac14>\frac{(-1)^6}{6}=\frac16>\cdots$$

Der kleinste Wert ist offensichtlich \((-1)\) und der größte Wert ist \(\frac12\).

Egal welchen Wert du für \(n\) wählst, es gilt immer:$$-1\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac12$$

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Hast du die ersten - sagen wir mal - 6 Folgenglieder berechnet??

von 45 k

Ich weiß leider grade nicht mal was du damit meinst :^)

Aber ich weiß jetzt, was du meinst: "Ich investiere KEINERLEI Eigenleistung in diese Aufgabe. Mal die ersten paar Folgenglieder berechnen um selbst zu sehen, wo das lang geht - ich doch nicht. Man stellt die Frage ein und wartet ob sich ein Depp findet, der sie einem komplett beantwortet."

Alter ich weiß halt echt nicht was du mit Folgeglieder meinst.

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