Zeigen Sie, dass die Vektorräume auch äquivalent sind

Question

Aufgabe:

Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. Gegeben seien die folgenden zwei Bedingungen:
(1): $\forall v \in V: \exists w \in V: v+w=0$
(2): $\forall v \in V: 0 \cdot v=\overrightarrow{0}$
Zur Definition von Vektorräumen wurde in $1.26$ nur Bedingung (1) herangezogen ( $\overrightarrow{0}$ sei hier der Nullvektor). Zeigen Sie, dass man stattdessen auch Bedingung (2) hätte verwenden können, dass sie also äquivalent sind (im Kontext der anderen Eigenschaften).

Ansatz:

Definition $1.26$
Einem Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\mathbb{F}$, wenn Addition und skalare Multiplikation definiert sind und folgende Eigenschaften gelten:
- Kommutativität. $u+v=v+u$ für alle $u, v \in V$;
Assoziativität. $(u+v)+w=u+(v+w)$ und $(a b) v=a(b v)$ für alle $u, v, w \in V$ und $a, b \in \mathbb{F}$;
- Additive Identität. Es gibt $0 \in V$ mit $v+0=v$ für alle $v \in V$;
- Additive Inverse. Für jedes $v \in V$ gibt es $w \in V$ mit $v+w=0$;
- Multiplikative Identität. $1 v=v$ für alle $v \in V$;
- Distributiveigenschaften. $a(u+v)=a u+a v$ und $(a+b) v=a v+b v$ für alle $a, b \in \mathbb{F}$ und alle $u, v \in V$.
Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren oder Punkte.
Beachte: Die Menge $\mathbb{F}^{n}$ ist ein Vektorraum.

Answer 1

$\begin{aligned}&&0\cdot v &= 0\\ &\iff &(1 + (-1))\cdot v &= 0\\ &\iff &1\cdot v + (-1)\cdot v &= 0\\ &\iff &v + (-1)\cdot v &= 0\end{aligned}$

Comments

Beachte, dass (1) ⇒ (2) damit noch nicht gezeigt ist.

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Damit ist auch (1) ⇒ (2) gezeigt. Ich habe Äquivalenzen angegeben und nicht nur Implikationen.

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Damit ist auch (1) ⇒ (2) gezeigt.

Nein, siehe meinen Kommentar.

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Ich weiß nicht, welchen deiner Kommentare du meinst. Ich sehe nur einen. Und der stellt nur eine Behauptung auf, der ich widersprochen habe.

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der ich widersprochen habe.

Das habe ich mitbekommen und wollte dir durch den Verweis auf meinen ersten Kommentar einen Anstoß geben, nochmals darüber nachzudenken.

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Ich werde dir jetzt deinen Fehler erklären und hoffe, dass du es verstehst.

Deine erste Zeile ist (2) , ok.
Aus deiner letzten Zeile folgt zwar (1), aber sie ist nicht (1).