Abelsche Untergruppe von G beweisen

Question

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Text erkannt:

Sei \( (G, e, \cdot) \) eine Gruppe und seien \( H_{1}, H_{2} \subseteq G \) Untergruppen von \( G \).
(a) Beweisen Sie, dass \( H_{1} \cap H_{2} \) eine Untergruppe von \( G \) ist.
(b) Sei \( G \) nun abelsch. Beweisen Sie, dass \( H_{1} H_{2}:=\left\{h_{1} \cdot h_{2} \mid h_{1} \in H_{1}, h_{2} \in H_{2}\right\} \) eine (abelsche) Untergruppe von \( G \) ist.

Kann mir, wer bitte einen Ansatz für die b) zeigen. LG

Answer 1

\( H_{1} H_{2}:=\left\{h_{1} \cdot h_{2} \mid h_{1} \in H_{1}, h_{2} \in H_{2}\right\} \)

für Untergruppe erst mal zeigen:

Abgeschlossenheit: Seien also x,y ∈\( H_{1} H_{2}\).

==>  Es gibt a∈\( H_{1} \) und b∈\( H_{2}\) mit x=a·b

entsprechend y=c·d.

Da \( H_{1} \) und \( H_{2}\) Untergruppen sind, sind

a·c  ∈\( H_{1} \) und b·d ∈\( H_{2} \)

und damit (a·c) · (b·d)  ∈ \( H_{1} H_{2} \) .

Wegen assoziativ und komm. in G gilt

(a·c) · (b·d) = (a·b) · (c·d) = x·y , also

x·y ∈ \( H_{1} H_{2} \) , also \( H_{1} H_{2} \)  abgeschl.

Dann zeige noch: \( H_{1} H_{2} \) besitzt ein neutr. El.

und zu jedem ist das Inverse drin und kommutativ gilt

ja eh, da in \( (G, e, \cdot) \) erfüllt.