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Aufgabe:

Zeige, dass limn \lim\limits_{n\to\infty} n(1/n) = 1

Tipp: Modifiziere den Beweis der Aufgabe 1(i), Blatt 4. Statt der Bernoullischen Ungleichung, wende eine Abschätzung durch einen weiteren Term aus dem Binomischen Satz an.


Aufgabe 1 vom letzten mal:

https://www.mathelounge.de/970226/aufgabe-zu-folgen-limes-a-1-n-1


Kann mich mal wieder jemand retten? Die Abgabe naht.. :(

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Beweis der Aufgabe 1(i), Blatt 4.  ???

Oh dachte das wäre nicht so essenziell. Kann aber gerne den Link zu der Aufgabe hier beifügen:

https://www.mathelounge.de/970226/aufgabe-zu-folgen-limes-a-1-n-1

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Aloha :)

Der Tipp ist schon fast gut. Gemäß des binomischen Lehrsatzes gilt:(1+2n)n=k=0n(nk)1nk(2n)k=k=0n(nk)(2n)k\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^kFür n2n\ge2 können wir aus der Summe die Summanden mit k=0k=0 und k=2k=2 auswählen:(1+2n)n(n0)(2n)0+(n2)(2n)2=1+n(n1)22n=n\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=nAuf beiden Seiten die nn-te Wurzel gezogen liefert:1+2nnn1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}Wegen n1n\ge1 ist auch nn1\sqrt[n]{n}\ge1, sodass im Grenzwert gilt:limn(1+2n)limn(nn)1    1limn(nn)1    limn(nn)=1\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)\ge1\implies 1\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)\ge1\implies\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)=1

Avatar von 153 k 🚀

Hiiiii,

zuallererst vielen dank. Deine Rechnung hab ich super verstanden.

Nur hab ich noch eine kleine Frage. Ich versuch nämlich darauf zu kommen wie du auf diesen (1+2n)n\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n Term zu Abschätzung gekommen bist.

Also ich weiß das n^(1/n) = nn\sqrt[n]{n}   Aber...

Hast du dir zwingend einen Term gesucht welcher größer als nn\sqrt[n]{n} ist?

Oder anders gefragt nach welchem Kriterium hast du (1+2n)n\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n gewählt?

Ich glaube nämlich das du wusstest das nn\sqrt[n]{n} eine Teilfolge davon ist. Ist es das? (Hoffe Teilfolge ist der Richtige Begriff dafür)



Vielen Dank für die super nette Hilfe. <3

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