wie berechne ich hier die Varianz einer Schätzfunktion?

Question

Aufgabe: In Abhängigkeit eines unbekannten Parameters c mit 0 ≤ c ≤ 10 seien der Erwartungswert und die Varianz von Zufallsvariablen Y mit der zugehörigen Verteilung aus einer parametrischen Verteilungsfamilie gegeben durch

E(Y)= (c+10 )/ 3  sowie Var(Y)=  (c² −10c+100 )/ 18 

Für n ∈ N seien X1,...,Xn eine einfache Stichprobe vom Umfang n zu Y und Tn die wie folgt definierte Schätzfunktion für c:

Tn(X1, . . . , Xn) := ( 3/n ∑ xi )-10

a : Berechnen Sie die Varianz der Schätzfunktionen Tn

b: Berechnen Sie den Bias der Schätzfunktionen Tn für c.

Problem/Ansatz:

wie berechne ich hier die Varianz ? wie soll das gehen ?

Und was bedeutet Bias ?

Answer 1

(a) Hier nutzt du zwei Eigenschaften der Varianz:

1. $Var(aX+b) = a^2Var(X)$ für reelle a,b

2. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) für unabhängige X,Y

Bei Stichproben unterstellt man natürlich die Unabhängigkeit der $X_i$ (i=1,..,n)

$$Var(T_n) = \frac9{n^2}\sum_{i=1}^nVar(X_i) = \frac 9nVar(Y) = \frac 1{2n}(c^2-10c+100)$$

(b) Der Bias ist die Abweichung des Erwartungswert des Schätzers für c von c, also

$$\text{Bias}(T_n)=E(T_n) - c$$

Du benötigst also

$$E(T_n) = \frac3{n}\sum_{i=1}^nE(X_i) -10 = 3E(Y)-10 = 3\left(\frac{c+10}3\right)-10 = c$$

$$\Rightarrow \text{Bias}(T_n) = 0$$

Comments

Hallo vielen Dank für die schnelle Antwort.

wie kommen sie von (9/n) Var(Y) auf (1 /2n )(c²-10c+100) ?

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Hat sich erledigt.:)

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Einfach die gegebene Varianz $Var(Y)$ einsetzen und die 18 im Nenner mit der 9 im Zähler kürzen.