Zeigen Sie: Quadratische Matrizen, Spur

Question

Aufgabe:

Für quadratische Matrizen betrachten wir die Spur-Funktion

Spur: $K^{N \times N} \rightarrow K$, $A \mapsto \operatorname{Spur}(A):=\sum \limits_{n=1}^{N} a_{n n} .$

(a) Zeigen Sie $\operatorname{Spur}\left(A^{\top} A\right)=\sum \limits_{m, n=1}^{N} a_{n m}^{2}$.

(b) Zeigen Sie $\operatorname{Spur}\left(\mathbf{x} \mathbf{y}^{\top}\right)=\mathbf{y}^{\top} \mathbf{x}$ für $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K^{N}$.

(c) Sei nun $K=\mathbb{K}$. Zeigen Sie $\operatorname{Spur}(A)=0$, falls $A$ antisymmetrisch ist.

Ich brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe und wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. Danke im voraus

Comments

KIT lässt grüßen

Answer 1

Fang mal mit einer beliebigen Matrix A an:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2N} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{N1} & a_{N2} & \dots & a_{NN} \end{pmatrix}$

Dann ist A^T =

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{N1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{N2} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1N} & a_{2N} & \dots & a_{NN} \end{pmatrix}$

Jetzt brauchst du ja die Elemente auf der Hauptdiagonalen des

Produktes $A^{\top} A$.

Das erste oben links entsteht also durch die erste Zeile von A^T und

die erste Spalte von A, die sind aber beide gleich, also gibt

das $\sum \limits_{m=1}^{N} a_{1m}^{2}$ und beim 2. Element in der

Hauptdiagonale von $A^{\top} A$ entsprechend $\sum \limits_{m=1}^{N} a_{2m}^{2}$.

Wenn man die alle addiert, gibt es also $\operatorname{Spur}\left(A^{\top} A\right)=\sum \limits_{m, n=1}^{N} a_{n m}^{2}$