Erklären Sie die darstellende Matrix einer linearen Abbildung zu gewählten Basen.
Ist f eine lineare Abbildung vom n-dimensionalen Vektorraum V zum
m-dimensionalen Vektorraum W und sind A=(v1,…,vn) und
B=(w1,…,vm) Basen von V bzw. W, dann gibt es zu jedem v∈V und w∈W
eindeutig bestimmte Koordinatenvektoren ⎝⎛a1…an⎠⎞bzw. ⎝⎛b1…bm⎠⎞
mit v=i=1∑naivi und w=i=1∑mbiwi.
Und die Matrix M von f bzgl. der Basen A und B ist dann diejenige , für die
M⋅⎝⎛a1…an⎠⎞=⎝⎛b1…bm⎠⎞ gilt, wenn f(v)=w.
Bei dir also: f : R2↦R2,e1→3 · e1+2 · e2,e2→e1−4 · e2
Die Basen sind also für Original und Bild die gleichen (e1,e2).
Durch die Vorgabe e1→3 · e1+2 · e2,e2→e1−4 · e2 hast du für die
gesuchte Matrix also zu erfüllen
M⋅(10)=(32) und M⋅(01)=(1−4).
Zusammengefasst M⋅(1001)=(321−4)
Das ist kurz M=(321−4).
Und du siehst: Wenn man in beiden Räumen die Standardbasis wählt, sind die
Koordinatenvektoren der Bilder die Spalten der Matrix.