Gleichung zur Berechnung des Volumens von Körpern mit quadratischer Grundfläche

Question

Kennt jemand diese Vorgehensweise zur Volumenberechnung von Körpern mit quadratischer Grundfläche:                                   f(x)=ax^k     →

V(x)= 4a²/(2k+1)x^(2k+1),k∈Z & k≥0

?

(Der Körper wird wie bei den Rotationskörpern mit einer Funktion beschrieben)

Comments

Volumina werden z.B. im m³ angegeben, wie soll Deiner Meinung nach diese Formel bei m Input zu m³ kommen?

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Naja, wie kommt die Einheit bei Rotationskörpern zustande?

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Volumina werden z.B. in $m^3$ angegeben,

Das mag in der Physik so sein. In der Mathematik ist

das Volumenmaß einfach eine reelle Zahl $\geq 0$.

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x und y haben Längeneinheiten und an der Stelle x hat der Körper quadratische Querschnittsfläche mit der Quadrat-Seitenlänge 2f(x).

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@Gast hj2166 genau

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Hallo

ich kenn die Vorschrift nicht, wieso aber auch nicht, wie die Fläche z.B für a=1 k=2 mit dem Quadrat zusammenhängt. Hast du ne Skizze?

lul

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Ich habe ein kleines Paper du geschrieben. Wenn sie wollen schicke ich ihnen ein Link

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Lieber nicht, ich will ja nur wissen was ax^k mit dem Quadrat zu tun hat. denn ax^k ist ja eine Funktion , die durch (0,0) geht. aus dem paper interessiert nur ein Bild für ein a und k, das du hier  zeigst.

lul

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Ja, die Funktion geht durch den Ursprung

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@an den Menschen, der diese Frage als 'Duplicate' markiert hat:

die ursprüngliche Frage war doch bereits geschlossen worden! Also wäre es doch sinnvoll genau die erste auch als 'doppelt zu markieren, wenn das schon sein muss. Und bitte nicht diese hier; es herrscht doch hier kein Wettbewerb möglichst viele Fragen zu schließen!

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Hallo Tim,

ich werde Dir ggf. heute Abend antworten. Wie weit ist denn Dein Wissenstands im Hinblick auf das Summenzeichen $\sum$ und was weißt Du über das Integrieren (Schuldeutsch: Aufleiten)?

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Hi Werner, ich bin zwar noch in der 12. Klasse und bestreite dort einen LK besuche aber einmal die Woche eine Vorlesung über gewöhnliche Differnzialgleichungen und würde meinen, dass ich mich etwas mit Integralen auskenne. Bei Summenzeichen kenne ich die Basics.

Answer 1

Hallo und willkommen in der Mathelounge!

zu Deiner Frage:

Kennt jemand diese Vorgehensweise zur Volumenberechnung von Körpern mit quadratischer Grundfläche

im Prinzip ja. Wenn man mal davon absieht, dass es sich bei Deinem Körper um einen Spezialfall handelt. Grundsätzlich kannst Du nämlich das Volumen jeden Körpers 'scheibchenweise' berechnen.

Angenommen der Körper befindet sich im Intervall $x \in [a,\,b]$ und sein zur Richtung $x$ senkrechter Querschnitt $A(x)$ ist überall bekannt. Dann ist sein Volumen$$V = \int\limits_{x=a}^{b}A(x)\, \text dx$$siehe auch Prinzip von Cavalieri.

In Deine (Spezial-)Fall ist der Querschnitt stets ein Quadrat und die halbe Seitenlänge des Quadrats hast Du mit $f(x)=ax^k$ mit $k \in \mathbb{N}$ vorgegeben. Der Körper befindet sich im Intervall $x\in[0,\,h]$

Folglich ist die Fläche $A$ des Quadrats an der Stelle $x$:$$A(x)= \left(2ax^k\right)^2 = 4a^2x^{2k}$$Oben einsetzen gibt$$\begin{aligned}V(h) &= \int\limits_{x=0}^{h} 4a^2x^{2k}\, \text dx\\ &= \left.4a^2 \frac{1}{2k+1}x^{2k+1}\right|_{x=0}^{h}\\&=\frac{4a^2}{2k+1}h^{2k+1}\end{aligned}$$und das ist genau die Formel, die Du oben angegeben hast, wenn man mal davon absieht, dass ich hier die Höhe des Körpers mit $h$ statt $x$ benannt habe.

Zu Deinem Dokument:

Du solltest jede Größe, die dort in irgendeiner Formel auftaucht vorher genau definieren. Achte auch darauf, dass jeder Teil auf den anderen logisch aufbaut. Mache Dir immer bewußt welche Vorausetzungen für das eben geschriebene notwendig sind und prüfe, ob diese im Vorfeld alle definiert bzw. gezeigt worden sind,

Weiter solltest Du unterschiedliche Größen streng unterschiedlich benennen. Es ist verwirrend, wenn Du mit $x$ die Gesamthöhe( oder -Länge) des Körpers bezeichnest aber $x$ auch noch die Variable innerhalb einer Dimension ist. Also wähle besser $h$ oder $b$ für die Abmessung über alles.

Bei den Summen über verschieden $x_k$ solltest Du das Summenzeichen verwenden. Es mag am Anfang ungewoht sein, schafft aber Überblick. Z.B. für die Obersumme $S_o$ bei der Teilung des Körpers in $n$ gleich dicke Scheiben$$S_0 = \frac{h}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(2f(x_k)\right)^2 \quad x_k = k \cdot \frac{h}{n}$$

Du solltest vielleicht noch erwähnen (und erklären), welche Anforderung an $f(x)$ gestellt werden, damit das oben erwähnte $S_o$ tatsächlich die Obersumme ist - also stets $S_o \gt V$ gilt.

Gruß Werner

PS.: ich kann auf Dein Dokument nicht (mehr) zugreifen. Man benötigt anscheinend eine spezielle Berechtigung:

Comments

Danke Werner, in meinen Dokument habe ich es als Summe geschrieben, dass ist aber jetzt ja auch egal.  Naja man lernt nie aus.

Lg