Bestimmen Sie für die Potenzreihe ∑( √{n+1} - √{n} ) den Konvergenzbereich

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^\infty (\sqrt{n+1} - \sqrt{n} )\cdot x^n$ den Konvergenzbereich

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe und versucht über das ziehen der nten Wurzel auf das r zu kommen. Ich habe wegen dem lim sup statt dem Minus zwischen den Wurzel ein + eingesetzt. Aber wie komme ich auf das kleine r?

Comments

Ich habe deine Frage mal was bearbeitet. Ist es so richtig ?

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Ja genau, ich bin noch etwas unsicher mit dem Edit der Website

Answer 1

Beachte zunächst

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac 1{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Also haben wir die Potenzreihe

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ mit $a_n = \frac 1{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.

Quotientenformel gibt den Konvergenzradius

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}= \frac{\sqrt{1+\frac 2n} + \sqrt{1+\frac 1n}}{\sqrt{1+\frac 1n} + 1} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1$

$\Rightarrow$ Konvergenzradius: $\boxed{r=1}$

Noch Ränder $|x|=1$ betrachten:

$x=-1$:

$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ konvergent aufgrund Leibniz-Kriterium (alternierende Reihe mit absolut monoton fallender Gliederfolge).

$x=1$:

$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \geq \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2\sqrt{n+1}} =\infty \Rightarrow$   divergent