Beweis der Formel von Euler

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Formel von Euler: Sei $a: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{C}$ mit $a_{k} \neq 0$ für fast alle $k \in \mathbb{N}$ und sei $P(z)$ die zugeordnete Potenzreihe. Dann gilt für den Konvergenzradius die Formel

$R=\frac{1}{L} \text { mit } L=\left\{\begin{array}{cl} \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| & \text { falls der Grenzwert existiert }, \\ \infty & \text { falls }\left(a_{k+1} / a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \text { bestimmt divergiert. } \end{array}\right.$

Dabei setzt man: $\frac{1}{0}=\infty$ und $\frac{1}{\infty}=0$.