Zeige ob an konvergent ist

Question

Ist die Folge \(a_n:=\frac{n^3+n^2+7}{n^2+2n-1}\) Konvergent? Berechne ggf. den Grenzwert.

Ansatz: Ich weiß dass die Folge nicht konvergent ist, aber ich weiß nicht wie ich das zeigen bzw. beweisen soll

Comments

Der Zähler wächst schneller als der Nenner, es gibt keinen Grenzwert.

Kürzen mit n³ führt zu 1/0 = oo

Answer 1

Hallo :-)

Nutze folgende notwendige Bedingung bei konvergenten Folgen: ,,Folge \((a_n)_{n\in \N}\) ist konvergent => Folge \((a_n)_{n\in \N}\) ist beschränkt."

Zeige nun, dass deine Folge nicht beschränkt ist, speziell nicht nach unten. Dafür kannst du deine Folge geeignet nach unten abschätzen.

Answer 2

Du kannst z.B. sowohl den Zähler als auch den Nenner durch n² teilen und hast dann:

(n+1+7/n²)/(1+2/n-1/n²)

und wenn du n nach unendlich durchlaufen lässt, hast du

(oo+1+0)/1 und somit hat die Folge keinen Grenzwert.