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Aufgabe:

Hey, Leute, ich habe ein Problem bei einer Mathematik- Aufgabe aus dem Modul Lineare Algebra 1. Ich bräuchte bitte Hilfe.


Problem/Ansatz:

20230129_190541.jpg

Text erkannt:

2. (2 Punkte)
Bestimmen Sie Polynome \( q, r \in \mathbb{Z}_{3}[x] \), so dass gilt:
\( x^{7}+x^{5}+x^{3}+2=\left(x^{3}+2 x+1\right) \cdot q+r \)
und \( \operatorname{deg}(r)<3 \).

Was muss ich hier an der Stelle beachten, wenn ich statts in R[x] hier in Z3[x] rechne? Ich weiß, dass das ein Restklassenring ist. Aber ich bekomme die Division einfach nicht hin. Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen lieben Dank im voraus.

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Es gilt x^5 ≡ x mod 3.

Damit kannst du x^5 durch x und x^7 durch x^3 ersetzen. Das vereinfacht das gegebene Polynom.

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Ok. Also ich ersetze nur die Polynome, aber der restliche Ablauf bezüglich des Rechnens ist genauso wie bei der Menge R[x]?

Richtig, durch die Ersetzung von x5 durch x und x7 durch x3 vereinfachst du das gegebene Polynom. Der restliche Ablauf der Division, also die Berechnung von q und r, erfolgt genauso wie in der Menge R[x]. Der Unterschied besteht darin, dass die Division in Z3[x] modulo 3 durchgeführt wird, das heißt die Ergebnisse der Division müssen in Z3[x] liegen. Dazu musst du beim Rechnen also sicherstellen, dass jedes Ergebnis modulo 3 reduziert wird.

Ich habe es jetzt mal selbst probiert. Kann jemand vielleicht einen Fehler erkennen?IMG_20230130_025404.jpg

Text erkannt:

\( \left(x^{7}+x^{5}+x^{3}+2\right):\left(x^{3}+2 x+1\right)=\underbrace{x^{4}+2 x^{2}}_{7} \)
\( \frac{-\left(x^{7}+2 x^{5}+x^{4}\right)}{0-x^{5}-x^{4}} \quad d a-1 \equiv 2(\bmod (3) \)
\( 2 x^{5}+2 x^{4} \Leftrightarrow 1 \)
\( \frac{-\left(2 x^{5}+4 x^{3}+2 x^{2}\right)}{0-4 x^{3}-2 x^{2}+x^{3}} \)
\( -3 x^{3}-2 x^{2} \)
\( \frac{x^{2}+2}{r} \quad \Leftrightarrow \quad-3 \equiv 0(\operatorname{mos}(3) \)
\( -2=1 \)

Wenn man die beiden Ersetzungen vornimmt, vereinfacht sich der Term zu 2x³+x+2.

Da x kongruent zu 4x mod 3 ist, kann man das ersetzen und erhält 2x³+4x+2..

Wenn man das durch den Term x³+2x+1 teilt, erhält man q=2 und den Rest r=0.

Das \(x\) in \(K[x]:=\mathbb{Z}_3[x]\) ist eine Unbestimmte.
\(x^5=x\) in \(K[x]\) würde bedeuten, dass \(x\)
algebraisch über \(K\) wäre.

Man kann also \(x^5\) nicht durch \(x\) ersetzen;
denn in dieser Aufgabe ist die Rede von Polynomen
und nicht von polynomialen Abbildungen.

Vielen lieben Dank, ermanus,

das habe ich mir nämlich auch schon gedacht, dass eine Ersetzung der Polynome hier nicht möglich ist. Danke für deinen Kommentar.

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