Wie groß ist maximal die Fläche eines Rechteckes mit einem Umfang von 80 cm?

Question

Aufgabe

Wie groß ist maximal die Fläche eines Rechteckes mit einem Umfang von 80 cm? Wie lang sind die Seiten?

Problem/Ansatz:

Ohne Ableitungen rechnen!

Thema : Quadratische Gleichungen

Answer 1

Nebenbedingung nach einer Unbekannten auflösen

U = 2·a + 2·b = 80 → b = 40 - a

Das in die Hauptbedingung einsetzen

A = a·b = a·(40 - a)

Das Maximum einer Parabel liegt horizontal zwischen den beiden Nullstellen also bei a = 20. Die maximale Fläche bekommt man also durch Einsetzen.

A = a·(40 - a) = 20·(40 - 20) = 400 cm²

Answer 2

Hallo,

\(A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b\quad U=2a\cdot 2b\)

Du weißt \(2a+2b=80\). Löse die Gleichung z.B. nach a auf: \(a=40-b\)

Somit ist der Flächeninhalt \(A=(40-b)\cdot b=40b-b^2\)

Bilde die Scheitelpunktform der Parabel.

\(A=-(b^2-40b)\\ = -((b-20)^2-400)\\ =-(b-20)^2+400\)

Bei einer Seitenlänge von b = a = 20 ist der Flächeninhalt des Rechtecks (Quadrats) am größten.

Gruß, Silvia

Answer 3

Es ist \(U=2(a+b)=80\), also \(a+b=40\iff b=40-a\).

Die Fläche des von \(a\) und \(b\) begrenzten Rechtecks ist

\(F=a(40-a)\). Dies ist als Funktion von \(a\) eine nach unten

geöffnete Parabel. Der \(a\)-Wert des Scheitelpunkts ist

das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen, also

\(a=(0+40)/2 = 20\).

Answer 4

400 Quadratzentimeter, 20 Zentimeter

Answer 5

2(a+b) = 80

a+b = 40

b= 40-a

A(a) =a*(40-a) = 40a-a^2-> maximieren

A'(a) = 0

40-2a= 0

a= 20

A(20) = 400  (Es ist das Quadrat)

Comments

Ohne Ableitungen rechnen!

A'(a) = 0

Hmmm...

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Ja, das habe ich überlese.

Meine inneres Automatik war schneller. :)

Wohl auch, weil ich diese Aufgabe schon oft anders gelöst habe.

Answer 6

Bei einem Rechtecksumfang von 80 cm ist das arithmetische Mittel der Seitenlängen 20, und die Summe zweier benachbarter Seitenlängen ist a+b=40.

Sollte also eine der Seitenlängen etwas größer als 20 cm sein, muss die andere Seitenlänge entsprechend kleiner als 20 cm sein. Das lässt sich so ausdrücken:

Wenn gilt a=20+x, dann muss auch b=20-x gelten.

Der Flächeninhalt ist dann a*b=(20+x)*(20-x)= 400-x²

Der Term 400-x² ist maximal. wenn x=0 gilt.

Den maximalen Flächeninhalt bekommt man also mit x=0 für a=b=20 (cm).

Comments

Bei einem Rechtecksumfang von 80 cm ist das arithmetische Mittel der Seitenlängen 20, und die Summe zweier benachbarter Seitenlängen ist a+b=40.

Wie meinen Sie das? Was veranlasst Sie zu dieser Überlegung?

Wie soll ein Schüler darauf kommen?

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@ggT22

Bei einem Rechtecksumfang von 80 cm ist das arithmetische Mittel der Seitenlängen 20, und die Summe zweier benachbarter Seitenlängen ist a+b=40.

Wie meinen Sie das? Was veranlasst Sie zu dieser Überlegung?
Wie soll ein Schüler darauf kommen?

Ich möchte dir gern antworten (wenn auch mit Verwunderung).

Dass die Summe zweier benachbarter Seitenlängen

a+b=40

ist, war auch Bestandteil aller anderen Antworten. Warum geht deine Rückfrage ausgerechnet an mich und nicht an die anderen Antwortgeber? Lustigerweise hast du sogar du so argumentiert, aber im Alter ist das mit dem Kurzzeitgedächtnis halt so eine Sache.

Und wenn wir schon bei a+b=40 sind - was sollte dann NICHT zu der Überlegung veranlassen:

Sollte also eine der Seitenlängen etwas größer als 20 cm sein, muss die andere Seitenlänge entsprechend kleiner als 20 cm sein.

Es gilt doch immer wieder: Erst (nach-)denken, dann posten.

PS:

Wie soll ein Schüler darauf kommen?

Lass dir das von den Schülern beantworten, die darauf kommen.