Kurvendiskussion mit Bruch: f(x) = (2x-1)/(x2)

Question

Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter....


--> Extrema Krümmungsverhalten und Wendestellen dieser Funktion:

f(x) = (2x-1)/(x^2)


wäre wirklich nett wenn mir einer helfen könnte :)


lg

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Mal ein Tipp: Benutze jeweils die Form mit negativen Exponenten statt den Bruch, wenn dir das die Rechnung vereinfacht.

f(x) = (2x-1)/(x²) = 2/x -1/x² = 2x^-1 - x^-2

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ich komm leider nicht drauf :(

Answer 1

Kurvendiskussion: f(x) = (2·x - 1)/x²

 

f(x) = (2·x - 1)/x²

f'(x) = (2 - 2·x)/x³

f''(x) =(4·x - 6)/x⁴

 

Nullstellen f(x) = 0

 

2·x - 1 = 0

x = 1/2

 

Polstellen/Definitionslücken Nenner = 0

 

x² = 0 | Das ist also eine Polstelle.

 

Verhalten im Unendlichen und an den Definitionslücken

 

lim (x → -∞) f(x) = -0

lim (x → 0-) f(x) = -∞

lim (x → 0+) f(x) = +∞

lim (x → ∞) f(x) = 0

 

Extrempunkte f'(x) = 0

 

2 - 2·x = 0

x = 1

 

f(1) = 1   | Hochpunkt

 

Wendepunkte f''(x) = 0

 

4·x - 6 = 0

x = 1.5

 

f(1.5) = 8/9 = 0.8889

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Vielen Dank

aber :
Extrempunkte f'(x) = 0


2 - 2·x = 0

x = 1

f(1) = 1   | Hochpunkt


wieso ist f´(x) = 2-2x und nicht f'(x) = (2 - 2·x)/x3

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Ein Bruch wird null wenn der Zähler null wird. Daher brauchen wir nur den Zähler gleich 0 setzen. Der Nenner darf ja eh nicht Null werden.

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okay so verstehe ich das ;)

mal schauen ob mein Mathe Prof. das aktzeptiert

Answer 2

aus Duplikat:

könntest du mir sagen wie man auf die Ableitungen kommt?
falls es jemand anderes weiss kann er natürlich auch gerne antworten ;)

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Durch die Quotientenregel:

Wenn $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$, dann ist $$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - v'(x) \cdot u(x) }{ v(x)^2 }$$.

Comments

ich komme so aber nicht drauf :(

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$$f(x) = \frac{2x - 1}{x^2}$$

Das heisst u(x) = 2x - 1 und v(x) = x^2.

Es ist u'(x) = 2 und v'(x) = 2x, also

$$f'(x) = \frac{ u'(x) \cdot v(x) - v'(x) \cdot u(x) }{ v(x)^2 } = \frac{ 2 \cdot x^2 - 2x \cdot (2x - 1) }{ x^4 } = \frac{ x \cdot ( 2x - 2(2x-1) ) }{ x^4 } = \frac{ 2x - 4x + 2 }{ x^3 } = \frac{ 2 - 2x }{ x^3 }$$