Untersuchen Sie Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{2}-3 n+1}$

Problem/Ansatz:

Ich bin Planlos bei diesem Teil. Bitte Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

$$S\coloneqq\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+4}{n^2-3n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+4}{n(n-3)+1}$$

Für $n=1$ und $n=2$ ist der Zähler positiv und der Nenner negativ. Daher ziehen wir diese beiden Werte aus der Summe raus:$$\small S=\frac{1+4}{1\cdot(1-3)+1}+\frac{2+4}{2\cdot(2-3)+1}+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n(n-3)+1}=-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n^2-(3n-1)}$$

Da in der Summe nun $(n\ge3)$ gilt, ist $(3n-1)>0$, wir ziehen im Nenner von $n^2$ also etwas ab. Wenn wir diesen Term weglassen, wird der Nenner größer, wodurch der Bruch kleiner wird:$$S>-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n+4}{n^2}$$

Der Bruch wird auch kleiner, wenn wir den Zähler verkleinern, indem wir die $4$ weglassen:$$S>-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{n}{n^2}=-11+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac1n\to\infty$$

Da die harmonische Reihe divergiert, gilt dies auch für die Summe $S$.

Answer 2

Offensichtlich gilt die Abschätzung $\frac{n+4}{n^{2}-3 n+1}>\frac{n}{n^{2}-3 n+1}>\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}$.

Obwohl wir den Term hier zweimal kleiner machen, divergiert die Summe der derart verkleinerten Werte (Stichwort: harmonische Reihe) immer noch.

Comments

Gilt aber nur für $n\ge3$.

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Ist es nicht so das die ersten k Folgeglieder völlig uninteressant sind? Interessant sind die unendlich vielen Folgeglieder, die nach den ersten k Folgegliedern folgen.

Kannst du mir folgen?

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Trotzdem ist die Ergänzung von Arsinoé4 berechtigt.

Answer 3

Folgende grobe Abschätzung gilt für alle nat. Zahlen $n>1$:

$\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n}{n^2+3n^2+n^2}=\frac{1}{5n}$.

Das Minorantenkriterium liefert mit der Divergenz der

harmonischen Reihe die Divergenz der gegebenen Reihe.

Comments

Gilt aber nicht für $n=2$.

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Ja. Du hast Recht. Habe doch immer wieder Probleme
mit den Grundrechenarten ;-)