Aloha :)
Wenn du dir die Vektoren aus \(W\) geschickt aufschreibst:$$\small\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(\alpha+\beta)-\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\beta\\0\\0\end{pmatrix}=(\alpha+\beta)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\beta\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$
erkennst du sofort, dass die beiden Vektoren \((1;1;1)^T\) und \((1;0;0)^T\) eine Basis bilden.
Die Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogar durch den Ursprung geht. Daher handelt es sich bei \(W\) tatsächlich um einen Untervektorraum des \(\mathbb R^3\). (Wichtige Regel: Es gibt keinen Vektorraum ohne Ursprung).
