Unterräume für R3 mit a und b

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass

W= {$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$∈ℝ³ | $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} α\\α+β\\α+β \end{pmatrix}$ ,α,β ∈ ℝ } ein Unterraum des ℝ³ und das {$\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$ } eine Basis vom W ist. Welche Dimension hat W

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dir die Vektoren aus $W$ geschickt aufschreibst:$$\small\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(\alpha+\beta)-\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+\beta\\\alpha+\beta\\\alpha+\beta\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\beta\\0\\0\end{pmatrix}=(\alpha+\beta)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\beta\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

erkennst du sofort, dass die beiden Vektoren $(1;1;1)^T$ und $(1;0;0)^T$ eine Basis bilden.

Die Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogar durch den Ursprung geht. Daher handelt es sich bei $W$ tatsächlich um einen Untervektorraum des $\mathbb R^3$. (Wichtige Regel: Es gibt keinen Vektorraum ohne Ursprung).

Answer 2

Hier die selbe Frage + Antwort

https://www.mathelounge.de/1017798/wie-beweist-man-den-unterraum-und…

lul