Aloha :)
Wenn du dir die Vektoren aus W geschickt aufschreibst:(xyz)=(αα+βα+β)=((α+β)−βα+βα+β)=(α+βα+βα+β)−(β00)=(α+β)(111)−β(100)
erkennst du sofort, dass die beiden Vektoren (1;1;1)T und (1;0;0)T eine Basis bilden.
Die Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogar durch den Ursprung geht. Daher handelt es sich bei W tatsächlich um einen Untervektorraum des R3. (Wichtige Regel: Es gibt keinen Vektorraum ohne Ursprung).