0 Daumen
447 Aufrufe
Hallo ich kann bei diesem Thema noch nicht die einzelnen Rechenschritte nachvollziehen. Kann mir jemand bitte erklären wie man auf die Lösungen kommt?

bei a) bin ich auf das Ergebnis gekommen indem ich beide Matrizen transponiert miteinander multipliziert habe. Gibt es hier für Formeln?

bei b) Wollte ich ich die Gesamtbedarfsmatrix mit dem Vektor 100        multiplizieren, bekomme jedoch andere Ergebnisse heraus                                                                               60

c) Hier addiere ich jeweils 10 bei S1 zu den Karotten und bei S2 10 zu den Erbsen.

d) habe ich keine Idee.

Mein Problem ist, ich kann nicht nachvollziehen wann ich was machen muss. Bin für jeden Tipp dankbar.

Liebe Grüße

Aufgabe:

Aus den Gemüsesorten Karotten, Erbsen und Bohnen (Mengeneinheit = 100g) werden zwei
verschiedene Tiefkühlmischungen T1 und T2 hergestellt (Mengeneinheit = Packung), woraus für die
Supermärkte zwei verschiedene Sortimente S1 und S2 zusammengestellt werden (Mengeneinheit =
Kiste). Den folgenden Tabellen ist zu entnehmen, wie viele Mengeneinheiten der jeweiligen
Gemüsesorten bzw. Tiefkühlmischungen für die Zusammen-stellung je einer Mengeneinheit
Tiefkühlmischung bzw. Sortiment benötigt werden:

            Karotten           Erbsen                Bohnen

T1            1                             3                         2

T2            4                             0                          1

T1                    T2

S1                   2                      4

S2                   1                       1

a) Geben Sie die Gesamtverbrauchsmatrix an.

b) Wie viele Mengeneinheiten der drei Gemüsesorten braucht man jeweils, um 100 Kisten mit dem
Sortiment S1 und 60 Kisten mit dem Sortiment S2 liefern zu können?

c) Welche Gesamtverbrauchsmatrix erhält man, wenn zusätzlich zu den Tiefkühlmischungen in jede
Kiste des Sortiments S1 noch 1 kg Karotten und in jede Kiste von S2 noch 1 kg Erbsen gepackt
werden sollen?

d) Wie viele Kilogramm Bohnen werden benötigt, wenn 70 Packungen der Tiefkühlmischung T1 und 30
Packungen von T2 hergestellt werden sollen?

Lösungen:

a) Gesamtbedarfsmatrix    =          18    5

                                                               6     3

                                                                8     3

b)   b) 1580 ME Karotten, 660 ME Erbsen, 780 ME Bohnen werden benötigt.

c)    weil 1 ME = 100g sind, ist

                            28        5
                            6         13
                              8         3

d) 17 kg.
von

2 Antworten

+1 Punkt

zu a )

In diesem Zusammenhang ist folgende Formel von Bedeutung:

Seien A und B Matrizen von passendem Typ, sodass sie also miteinander multipliziert werden können. Dann gilt:

( A * B ) T = B T * A

 

Um auf die in der Lösung angegebene Matrix zu kommen, kann man tatsächlich die Transponierten der Mischungsmatrix

$$T=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

und der Sortimentsmatrix

$$S=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

miteinander multiplizieren, also:

$${ T }^{ T }*{ S }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 & 5 \\ 6 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$$

Dasselbe Ergebnis erhält man aber auch (siehe oben genannte Formel), wenn man Die Sortimentsmatrix S mit der Mischungsmatrix T multipliziert und die Ergebnismatrix transponiert, also:

$$(S*T)^{ T }=\left[ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] ^{ T }={ \begin{pmatrix} 18 & 6 & 8 \\ 5 & 3 & 3 \end{pmatrix} }^{ T }=\begin{pmatrix} 18 & 5 \\ 6 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$$

Man erspart sich dadurch eine Transpositionsoperation, da man nicht beide Eingangsmatrizen transponieren muss, sondern nur die Ergebnismatrix.

zu b)

Hier muss der Spaltenvektor G1 der Gesamtverbrauchsmatrix mit 100 und der Spaltenvektor G2 mit 60 multipliziert und beide Ergebnisse addiert werden, also:

$$V\begin{pmatrix} K \\ E \\ B \end{pmatrix}=100*\begin{pmatrix} 18 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}+60\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2100 \\ 780 \\ 980 \end{pmatrix}$$

Allerdings stimmt auch mein Ergebnis nicht mit der Lösung überein, die allerdings auch falsch sein muss, denn betrachtet man zum Beispiel nur die Karotten, die Mischung T2 und das Sortiment S1, so sieht man:

S1 enthält 4 Kisten der Mischung T2 , jede dieser Kisten enthält 4 ME Karotten, also enthält das Sortiment S1 insgesamt 16 ME Karotten. Folglich sind allein in 100 Kisten des Sortiments S1 insgesamt 1600 ME Karotten enthalten, also bereits mehr, als die 1580 ME, die laut Lösung in 100 Kisten S1 und 60 Kisten S2 enthalten sein sollen.

zu c)

Diese Aufgabe hast du richtig gelöst.

zu d)

Hier musst du nur den Spaltenvektor BOHNEN=\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})\) der Mischungsmatrix T betrachten. Multipliziere den Bedarfsvektor \(B=\begin{pmatrix} 70 & 30 \end{pmatrix}\) mit diesem Vektor und du erhältst den gesuchten Bedarf an Bohnen, also:

$$BEDARF(BOHNEN)=B*BOHNEN=\begin{pmatrix} 70 & 30 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=170$$

Es werden also 170 ME = 17 kg Bohnen benötigt.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
0 Daumen
Nur eine Anmerkung zu b)

Auf die Angegebene Lösung kommt man wenn man 60 Kisten S1 und 100 Kisten S2 fertigen soll. Schau also mal in der Aufgabe nach ob die eventuell anders gestellt ist. Ansonsten hat JotEs völlig richtig gerechnet und der Lösungsvektor stimmt nicht.
von 268 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...