Außerdem habe ich Angst, einmal einen Fehler zu machen und mich zu blamieren.
brauchst Du nicht! Jeder macht Fehler und Du bist ja derjenige, der fragt!
... gibt es z.B. hier zwischen den beiden oben gezeichneten Funktionen - außer im Punkt 5,6 - eine Verbindung ?
Na ja - es sind beides Polynome - aber das ist nicht das, was Du wissen wolltest.
Das was Du da macht, also die Division der einzelnen Summanden akxk durch (k−1)x, nennt man in der Mathematik eine 'Abbildung'. D.h. eine Funktion f (von einem bestimmten Typ) wird durch einen bestimmten Algorithmus auf eine andere Funktion g abgebildet.
f ist vom Typ 'Polynom' 4.Grades, wobei a1=0 ist. Das erspart uns die Division durch 0 - diesen Summanden lassen wir einfach weg. Ist f(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a0dann ist g sammt der ersten Ableitungg(x)=3a4x3+2a3x2+a2xg′(x)=a4x2+a3x+a2Nun kann man auch f auf Hoch- und Tiefpunkte untersuchen, indem man ableitet und die Ableitung zu 0 setzt. Aber vorher wandele ich f noch um und wende die Produktregel an:f(x)=(a4x2+a3x+a2)x2+a0f′(x)=(a4x2+a3x+a2)′x2+2x(a4x2+a3x+a2)Wenn man das mit der Ableitung von g vergleicht, so steht dort:f′(x)=g′′(x)⋅x2+2x⋅g′(x)D.h. f′(x) wird auch dann immer zu 0, wenn g′(x) und g′′(x) zu 0 werden. Und dies ist ja genau die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt. Daraus folgt:
Hat g an der Stelle xs einen Sattelpunkt, so ist f′(xs) die Ableitung von f an der Stelle xs gleich 0. Das kann dann ein Hoch- oder Tiefpunkt oder eben wiederum ein Sattelpunkt sein.
Achtung: umgekehrt gilt das nicht! f′(x) hat immer bei x=0 eine Steigung von 0 und kann auch 0 annehmen , wenn sich die beiden Summanden gegenseitig aufheben, Und dann ist weder g′(x) noch g′′(x) identisch zu 0.
Ach ja - und damit g einen Sattelpunkt hat, muss g(x) immer wie folgt aussehen:g(x)=3a4(x−xs)3+ysWobei (xs,ys) die Koordinate des Sattelpunktes ist. Im konkreten Fall hier istg(x)=3200(x−5,6)3+15175616Gruß Werner