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Aufgabe:Seien x1,x2,x3,y1,y2 x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2} Elemente eines geordneten Körpers K K . Beweisen Sie unter Verwendung der Axiome aus Definition 9 sowie der Proposition 5:
i) x12+x22+x32x1x2x1x3x2x30 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3} \geq 0 . Wann gilt das Gleichheitszeichen?


Problem/Ansatz: ich bin gerade etwas überfordert weil theoretisch müssten alle Faktoren 0 oder 1sein damit es gleich 0 ist?

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Gleichheit gilt offenbar dann, wenn x1=x2=x3x_1=x_2=x_3 ist.

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Aloha :)

=x2+y2+z2xyxzyz\phantom=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=(x22xy+y22)+(x22xz+z22)+(y22yz+z22)=\left(\frac{x^2}{2}-xy+\frac{y^2}{2}\right)+\left(\frac{x^2}{2}-xz+\frac{z^2}{2}\right)+\left(\frac{y^2}{2}-yz+\frac{z^2}{2}\right)=12(x22xy+y2)+12(x22xz+z2)+12(y22yz+z2)=\frac12\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac12\left(x^2-2xz+z^2\right)+\frac12\left(y^2-2yz+z^2\right)=12(xy)2+12(xz)2+12(yz)2  =!0=\frac12(x-y)^2+\frac12(x-z)^2+\frac12(y-z)^2\;\stackrel!=0

Da a2=0\,a^2=0\, nur dann gilt, wenn a=0\,a=0\, ist, wird der obige Term Null, wenn gilt:x=y    x=z    y=zbzw.x=y=zx=y\;\land\;x=z\;\land\;y=z\quad\text{bzw.}\quad x=y=z

Avatar von 153 k 🚀

Danke für die schnelle Antwort ! :) Wieso hast du beim 2. Schritt es mit 1/2 erweitert ?

Hat6 er doch garn nicht. Er hat 1/2 AUSGEKLAMMERT.

Und warum?

Weil es nützlich war!

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Wie ist es mit  x1=x2=x3 x_{1}=x_{2}=x_{3}    ?

Avatar von 289 k 🚀

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