Berechnen Sie das Volumen des Teils der Sphäre, der sich oberhalb von der Ebene z=2 befindet.

Question

Aufgabe:

Hallo

Hallo

Text erkannt:

b) Betrachten Sie die Sphäre in $\mathbb{R}^{3}$, die durch $x^{2}+y^{2}+z^{2}=8$ gegeben ist. Berechnen Sie das Volumen des Teils der Sphäre, der sich oberhalb von der Ebene $z=2$ befindet.

Text erkannt:

26)
$\iiint_{\text {Tilhel }} d x d y d z=\iiint r^{2} \sin \theta d \varphi d r d \theta$
tieharel

Grevsen für Wintal $O$
$z=2 \underset{v=\sqrt{8}}{Q 2} \Rightarrow \alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{8}}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow \theta$ achtivon $0 \operatorname{bis} \frac{\pi}{4}$
Gwersen für $t$
$\begin{aligned} x^{2}=r^{2}-z^{2}=2 & =\sqrt{8-12+4 \sqrt{8}} \\ & =\sqrt{4 \sqrt{8}-4} \\ & =2 \cdot \sqrt{\sqrt{8}-1} \end{aligned}$

Nunqiet dis das Inderpal:
$\begin{aligned} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{\beta}-1}} \int \limits_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d y d r d \theta & =2 \pi \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{8}-1}} r^{2} \sin \theta d r d \theta \\ =\frac{2}{3} \pi \int \limits_{0}^{\pi}\left[r^{-3}\right]_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{8}-1}} \sin \theta d \theta & =\frac{2}{3} \pi \cdot 6(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta d \theta \\ & =\frac{2}{3} \pi \cdot 6(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}} \cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ & =\frac{12}{3} \pi(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{aligned}$
miro

Kann jemand helfen bei der Aufgabe die Integrationsgrenzen zu bestimmen. Meine sind leider falsch ( wurde vom Tutor korrigiert)

Es geht um ein Volumen einer Teilkugel (Siehe Bild)

Bei meinen Lösungen kommt mal so gesagt eine unübersichtliche Zahl heraus.

Problem/Ansatz:

LG

Answer 1

Ich empfehle hier direkte Berechnung mit Cavalieri - du zerschneidest die Kugelkappe mit Ebenen $z=2\ldots \sqrt 8$ in Kreisscheiben:
$V=\int_{z=2}^{\sqrt 8}A(z)\, dz$ mit $A(z) = \pi r^2(z)$ und $r^2(z) = 8-z^2$

Also

$$V=\pi\int_{z=2}^{\sqrt 8}(8-z^2)\, dz = \frac 83(4\sqrt 2 - 5)\pi$$

Berechnung hier.

Comments

Danke für die Antwort. Den Satz von Cavalierie hatten wir nicht.

Aber es ist schlüssig. Eine Frage kann man es den nicht durch eine geeignete Integrationsgrenze für Radius r ausrechnen, würde mich echt fürs Verständnis der Thematik "Volumenintegrale" interessieren?

---

Eigentlich ist es ein Volumenintegral und z läuft eben nicht von 0 bis $R = \sqrt 8$ sondern von 2 bis $R = \sqrt 8$.

Das vollständige Volumenintegral in Zylinderkoordinaten wäre

$$V= \int_{z=0}^{\sqrt 8}\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}r\,dr\,d\phi\,dz$$

Aber da man ja die Formel für die Fläche eines Kreises kennt, muss man das Integral bzgl. $r$ und $\phi$ nicht nochmal berechnen.

Answer 2

Aloha :)

Unsere Punktmenge $(x;y;z)\in\mathbb R^3$ muss zwei Bedingungen erfüllen:$$x^2+y^2+z^2\le8\quad\text{und}\quad z\ge2$$Der maximale Wert für $z$ tritt im Fall $x=y=0$ auf, beträgt also $\sqrt8$. Das heißt:$$x^2+y^2\le8-z^2\quad;\quad z\in[2;\sqrt8]$$Das können wir mittels Zylinderkoordinaten wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt{8-z^2}]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[2;\sqrt8]$$

Mit dem Volumenelement $dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$ in Zylinderkoordinaten lautet das gesuchte Volumen$$V=\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=2}^{\sqrt 8}\left(\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}r\,dr\right)dz=2\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}dz$$$$\phantom V=\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}(8-z^2)\,dz=\pi\left[8z-\frac{z^3}{3}\right]_{z=2}^{\sqrt8}=\sqrt8\,\pi\left(8-\frac{8}{3}\right)-2\pi\left(8-\frac{4}{3}\right)$$$$\phantom V=2\sqrt2\,\pi\cdot\frac{16}{3}-2\pi\cdot\frac{20}{3}=\frac{8\pi}{3}(4\sqrt2-5)\approx5,5028$$

Comments

Cool. Zylindekoordinaten, wäre nicht drauf gekommen obwohl das "z" in der Aufgabenstellung anscheinend ein Hinweis war.