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Aufgabe:


Es sei
n=0anxn \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen x0,x1,x2,x3,x4,x5 x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5} in der vierten Potenz
n=0cnxn=(n=0anxn)4 \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{4}


Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe nicht so recht, wie man mit den verschiedenen Potenzen von x in der Formel umgehen soll. Mein Ansatz wäre gewesen, jeweils für x0, x1 usw, die Klammer auszumultiplizieren und sich dann jeweils das a'n anzusehen. Aber dann wären die Koeffizienten doch jeweils immer genau gleich und es würde sich nur in der Potenz von x unterscheiden. Wäre lieb wenn mir jemand zeigen könnte wie die vorgehensweise für beispielsweise x0 und x1 ist, damit ich das Prinzip verstehen kann.


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Da du nur die Koeffizienten für x0,x1,x2,x3,x4,x5 x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5} brauchst,

reicht das Ausmultiplizieren des Anfangs der Reihe

(a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+)4 (a_0x^{0}+a_1x^{1}+a_2x^{2}+a_3x^{3}+a_4x^{4}+a_5x^{5}+\dots)^4

Fängt wohl so an:

a04+(41)a03a1x1+(42)a02a12x2+(41)a03a2x2+ a_0^4 +\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}a_0^3a_1x^{1}+\begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}a_0^2a_1^2x^{2}+\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}a_0^3a_2x^{2}+\dots

=a04+4a03a1x1+6a02a12x2+4a03a2x2+ =a_0^4 +4a_0^3a_1x^{1}+6a_0^2a_1^2x^{2}+4a_0^3a_2x^{2}+\dots

=a04+4a03a1x1+(6a02a12+4a03a2)x2+ =a_0^4 +4a_0^3a_1x_1+(6a_0^2a_1^2+4a_0^3a_2)x^{2}+\dots


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Ah, ich habs verstanden. Vielen Dank!

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Hallo, schreib einfach mal die ersten Glieder der Summe und potenziere das mit 4.

Gruß lul

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Du kannst das ganz bequem ohne Ausmultiplizieren berechnen, wenn du folgenden Zusammenhang nutzt:

f(x)=n=0anxnan=f(n)(0)n!\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}a_nx^n \Rightarrow a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

g(x)=n=0cnxncn=g(n)(0)n!\displaystyle g(x) = \sum_{n=0}c_nx^n \Rightarrow c_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!}

Somit haben wir:

c0=g(0)=(f(0))4=a04\displaystyle c_0 = g(0) = \left(f(0)\right)^4 = a_0^4

Ab jetzt ist das alles nur noch eine Differentiationsübung:

c1=g(0)\displaystyle c_1 = g'(0)

g(x)=4(f(x))3f(x)g'(x) = 4 \left(f(x)\right)^3\cdot f'(x)

c1=4(f(0))3f(0)=4a03a1\displaystyle c_1 = 4 \left(f(0)\right)^3\cdot f'(0) = 4a_0^3a_1

... usw.

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