Funktion durch 2 Punkte bestimmen

Question

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf einer verschobenen Normalparabel. Gib den Scheitelpunkt der Parabel an.
a) $P(1 \mid 6) ; Q(4 \mid 3)$
b) $\mathrm{P}(2 \mid 3) ; \mathrm{Q}(7 \mid 8)$
c) $P(-6 \mid 4) ; Q(-1 \mid 19)$

Comments

Mit 2 gegebenen Punkten ist die Parabel nicht eindeutig bestimmt. Theoretisch ist fast jeder Punkt als Scheitelpunkt geeignet.

---

Roland, du hast übersehen, dass es sich um eine Normalparabel handelt.

Gruß lul

---

Danke, alles klar.

---

Interessant wäre, ob der Scheitelpunkt auch ohne quadratische Gleichungen bestimmt werden kann, falls er ganzzahlige Koordinaten besitzt.

...

Ja, es funktioniert.

:-)

---

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

usw.

y-y_s=(x-x_s)²

a)

P(1|6); Q(4|3)

Die Quadratzahlen unterscheiden sich um 6-3=3.

Infrage kommen daher y-y_s=1 und 4, d.h. x-x_s=±1 und ±2.

Von P aus 4 nach unten und 2 zur Seite, von Q aus 1 nach unten und 1 zur Seite.

Das führt zu S(3|2).

b)

P(2|3); Q(7|8)

Differenz der Quadratzahlen 8-3=5 → 4 und 9

Differenz der x-Werte 5

Mögliche Werte für x-x_s: ±2 und ±3.

3-2²=-1; 8-3²=-1 ✓

2+2=4; 7-3=4✓

--> S(4|-1)

c)

Die Differenz der Quadratzahlen beträgt hier 15. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.

64-49=15

16-1=15 , da 3+5+7=15 ist.

Mit ein paar Überlegungen kommt man auf den Scheitelpunkt.

:-)

Answer 1

$\mathrm{P}(2 \mid 3) ; \mathrm{Q}(7 \mid 8)$

Allgemeine Form der verschobenen Normalparabel:

$f(x) =x^2+bx+c$

$\mathrm{P}(2 \mid 3)$:

$f(2) =2^2+2b+c$

1.)

$4+2b+c=3)$   → $c=-1-2b$

$\mathrm{Q}(7 \mid 8)$

$f(7) =7^2+7b-1-2b$

2.)

$49+7b-1-2b=8$    →    $49+7b-1-2b=8$     →    $b=-8$

$c=-1-2b$  →$c=-1-2\cdot(-8)$  →$c=15$

$y =x^2-8x+15$  Scheitelpunkt bestimmen:

$y-15 =x^2-8x$   quadratische Ergänzung:

$y-15+(\frac{8}{2})^2 =x^2-8x+(\frac{8}{2} )^2$

$y-15+16 =x^2-8x+16$    2.Binom:

$y+1 =(x-4)^2$ 

$y =(x-4)^2-1$        $S(4|-1)$

Comments

Hallo Moliets. Warum lässt du dem Frager nicht wenigstens etwa zu tun übrig. Dazu nicht direkt die Scheitelform, warum so umständlich?

lul

Answer 2

Hallo

verschobene Normalparabel : y=(x-a)²+b

die 2 Punkte einsetzen und daraus a und b bestimmen. der Scheitelpunkt ist dann (a,b)

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

die Aufgabe lautet: "Gib den Scheitelpunkt der Parabel an" und wohl nicht: "Funktion bestimmen" auch wenn das im Titel steht.

Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel lässt sich hier auch ohne Kenntnis der Funktion bestimmen. Dazu muss man zwei Dinge wissen:

1.) Die Steigung $m$ einer Sekante der Parabel ist identisch mit der Steigung $p`$ der Parabel selbst im arithmetischen Mittel der beiden X-Werte der Sekanten-Schnittpunkte. Für Aufgabe a) heißt das, dass die Steigung $m$ der Sekante durch $P$ und $Q$$$m=\frac{3-6}{4-1} = -1 \implies p'\left(x=\frac{1}{2}(1+4)\right) =m=-1$$identisch ist, mit der Steigung $p'$ von $p$ an der Position $x=2,5$.

2.) Die Steigung einer Normalparabel verändert sich mit wachsendem $x$ im Verhältnis $2\div 1$, was kein Wunder ist, weil dies ist ja die zweite Ableitung der Normalparabel $p''={\color{green}2}$. D.h. wenn $p(2,5)=-1$, dann ist $$p(2,5 + 0,5) = -1 + 0,5\cdot {\color{green}2} = 0 \implies p(3)=0 \implies x_s = 3$$Folglich liegt der Scheitel der Normalparabel durch $P$ und $Q$ bei $x_s=3$. Oder anders ausgedrückt: der Scheitel liegt bei $x_s = x_m - \frac{1}{2}m$, wenn $m$ die Steigung und $x_m$ die Mittelpunkt-Koordinate der Sekante ist.

Genauso geht's für b) und c)

b) $P(2 \mid 3);\space Q(7 \mid 8)$$$m = \frac{8-3}{7-2} = {\color{red}1} \implies x_s = \frac{1}{2}\left(2+7-{\color{red}1}\right) = 4$$

c) $P(-6 \mid 4);\space Q(-1 \mid 19)$$$m=\frac{19-4}{-1-(-6)} = {\color{red}3} \implies x_s=\frac{1}{2}\left(-6-1- {\color{red}3}\right) =-5$$und wenn nötig kann man dann mit Hilfe der Scheitelpunktform die komplette Funktionsgleichung berechnen.

Und hier noch die Graphen als Kontrolle und Anschauung

Gruß Werner

Comments

Die Aufgabe könnte von Schülerinnen und Schülern auch zeichnerisch gelöst werden, indem die gegebenen Punkte gezeichnet werden und eine sicher vorhandene Schablone eingepasst wird.

Der Scheitelpunkt kann verschoben werden.

---

Hallo

Schwer, die diese Aufgabe bekommen kennen i.A, keinerlei Ableitungen oder Tangenten, deshalb ist das hier eine nette Spielerei, aber keine Möglichkeit für SuS

lul

---

... kennen i.A, keinerlei Ableitungen oder Tangenten

müsste man vielleicht auch gar nicht. Wenn man weiß, dass die Parabel die Ortskurve der Punkte ist, die zu einem Brennpunkt und zur Leitgeraden den gleichen Abstand haben, so könnte man das ggf. daraus ableiten.

Setzt natürlich etwas Geometrie voraus. Aber die sollte in dieser Klassenstufe schon dran gewesen sein.

---

dass die Parabel die Ortskurve der Punkte ist, die zu einem Brennpunkt und zur Leitgeraden den gleichen Abstand haben

Auch das wissen die Schüler nicht.

---

Auch das wissen die Schüler nicht.

können sie auch nicht, steht ja nicht im Lehrplan. Eigentlich schade, man könnte ja eine Sache - hier die quadratischen Funktionen - mal von mehr als einer Seite betrachten.