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Überbestimmtes lineares Gleichungssystem lösen:

2x2y=102z4z4x=26yz=3x4y45z=xy 2 x-2 y=10-2 z \\ \begin{aligned} 4 z-4 x &=2-6 y \\ z &=3 x-4 y-4 \\ 5-z &=x-y \end{aligned}

Kann mir jemand dieses LGS mit Erklärungen und Tipps lösen?

Ich habe schon mehrere Ansätze.

Bei einem Ansatz sind die Gleichungen II und III identisch und und Gleichung IV ist -4y=0. Ich wüsste jetzt gar nicht wie ich weitermachen sollte.

Bei einem anderen Ansatz ist die Gleichung IV eine Nullzeile und die Gleichung III ist 16z=22, was bedeuten würde, dass es ein Widerspruch ist, da ich z mit einer Konstanten c ersetzen müsste/könnte, was dann 16c=22 sein würde (Widerspruch).

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(22246434111110245)\left( { \begin{matrix} 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 10 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{matrix} } \right)letzte Zeile * (-3) + vorletzte Zeile:(222464341014102411)\left( { \begin{matrix} 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 10 \\ 2 \\ -4 \\ 11 \end{matrix} } \right)Zeilenvertauschungen (vereinfacht das weitere Vorgehen): 3.Zeile->1.Zeile,1.Zeile->2.Zeile,2.Zeile->3.Zeile:(341222464014410211)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 2 \\ 11 \end{matrix} } \right)3.Zeile + 2 * 2.Zeile(3412220280144102211)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 22 \\ 11 \end{matrix} } \right)2 * 4.Zeile -3.Zeile(341222028000410220)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 22 \\ 0 \end{matrix} } \right)4.Zeile entfällt, 3 * 2.Zeile + 2 * 1.Zeile:(34102802842222)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 8 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 22 \\ 22 \end{matrix} } \right)3.Zeile - 2.Zeile:(3410280004220)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 22 \\ 0 \end{matrix} } \right)3.Zeile entfällt, 2.Zeile : 2 (341014411)\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 11 \end{matrix} } \right)Daraus ergeben sich nun die Gleichungen:y+4z=11y+4z=11y=114z\Leftrightarrow y=11-4zund:3x+4y+z=4-3x+4y+z=-43x=4y+z+4=4(114z)+z+4=4815z\Leftrightarrow 3x=4y+z+4=4(11-4z)+z+4=48-15zx=165z\Leftrightarrow x=16-5zz beliebig wählbar, z.B. z=3, dann Lösung:x=1653=1x=16 - 5 * 3 = 1y=1143=1y=11-4*3=-1z=3z=3
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Wir bringen es auf Normalform

2·x - 2·y + 2·z = 10
4·x - 6·y - 4·z = -2
3·x - 4·y - z = 4
x - y + z = 5

I - 2*IV, II - 4*IV, III - 3*IV

0 = 0
- 2·y - 8·z = -22
-y - 4·z = -11

Auch die zweite ist von der dritten Zeile abhängig.

-y - 4·z = -11
y = 11 - 4·z

Und jetzt noch x ausrechnen

x - y + z = 5
x - (11 - 4·z) + z = 5
x = 16 - 5·z

Damit ist der Lösung

x = 16 - 5·z
y = 11 - 4·z
z = z | Ein Freiheitsgrad
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