Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum U3 gibt, der sowohl zu U1 als auch zu U2 komplementär ist

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) mit \( \operatorname{dim} V=2 n \) für \( n \in \mathbb{N} \).
1. Gegeben sei ein \( n \)-dimensionaler Untervektorraum \( U_{1} \subseteq V \). Es sei \( U_{2} \subseteq V \) ein Komplement von \( U_{1} \) in \( V \). Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum \( U_{3} \subseteq V \) gibt, der sowohl zu \( U_{1} \) als auch zu \( U_{2} \) komplementär ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Sinn der Frage nicht. Ich habe das mal skizziert, ist das richtig, dass ich das erste zeigen muss? Und könnt ihr mir helfen dies zu beweisen? Vielen Dank im voraus

Answer 1

Gucken wir uns erstman ein Beispiel an: V = R², U = L(e₁), W = L(e₂). Dann ist L(e₁, e₁ + e₂) zu U und V komplentär: v ∈ U heißt v = re₁, v ∈ W heißt v = se₁ + te₂. Nun sind v und e₁ linear unabhängig: Sei 0 = xv +ye₁ = xse₁ + yte₂ + ye₁, also x = y = 0.

Der allgemeine Fall geht analog: Tausche ein Basiselement aus.