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Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion f: [x,∞)→ℝ , x→√x

(i) Beweisen Sie, dass die Funktion Lipschitz.stetig ist auf [ε,∞) für jedes ε>0.

(ii) Zeigen Sie, dass f nicht Lipschitz-stetig ist auf [0,∞)

Ansatz (Epsilon-Delta-Beweis):

$$ \begin{array} { l } { \left| \sqrt { x } - \sqrt { x _ { 0 } } \right| < \varepsilon } \\ { \Leftrightarrow \left| \frac { x - x _ { 0 } } { \sqrt { x } + \sqrt { x _ { 0 } } } \right| < \varepsilon } \\ { \text { Abschätzung nach oben: } } \\ { \left| \frac { x - x _ { 0 } } { \sqrt { x } + \sqrt { x _ { 0 } } } \right| < \frac { \partial } { \sqrt { x _ { 0 } } } = : \varepsilon } \\ { \Rightarrow \partial = \frac { \varepsilon } { \sqrt { x _ { 0 } } } } \end{array} $$

Zählt die √x0 als geforderter L-Wert?
Ich würde schätzen ja, da man ja jeden Punkt einzeiln betrachten kann und es immer ein reeller Wert rauskommt.


zu (ii):
Hier würde ich analog vorgehen und dann behaupten, dass man sie einerseits nicht nach oben abschätzen und kann und andererseits L=0 ja nicht wirklich Sinn machen würde.

von

Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit. g(x):[0,1] -> R, g(x) = √x. Zeigen, dass g gleichmäßig steitg,aber nicht Lipschitz stetig ist.

Stichworte: stetigkeit,funktion,wurzel,gleichmäßig,lipschitz

Es sei g(x):[0,1] -> R, g(x) = Wurzel aus x. Zeigen sie dass g gleichmäßig steitg,aber nicht Lipschitz stetig ist.

Wie zeige ich so was ? :(

Da muss man sich was einfallen lassen, mit den Begriffen spielen, Ansaetze machen, sie wieder verwerfen, bessere finden, etc. Man soll ja durch die Bearbeitung solcher Aufgaben was lernen und sein Verstaendnis vertiefen.

Wie weit kommst du denn mit den ähnlichen Fragen? z.B. https://www.mathelounge.de/74937/lipschitz-holder-%26-gleichmassige-stetigkeit

Vom Duplikat:

Titel: Lipschitz Stetigkeit untersuchen von Wurzelfunktion (formal)

Stichworte: stetigkeit,lipschitz,wurzel

Ich soll folgendes zeigen:

1) Zeigen Sie, dass f: [0,∞) -> R, x -> $$ \sqrt{x} $$ stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.

2) Zeigen Sie, dass für jedes a > 0 die Funktion f:  [a,∞) -> R, x ->  $$ \sqrt{x} $$ Lipschitz-stetig ist.


Kann mir jemand hierbei helfen? Vielen Dank vorab! :) 

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort
a) Die Definition von Lipschitz-Stetigkeit ist ja, dass eine Lipschitz-Konstante L existiert, sodass für alle x,y des Definitionsbereichs gilt:

|f(x)-f(y)| ≤ L*|x-y|

bzw.

|f(x)-f(y)|/|x-y| ≤ L

|√x-√y|/|x-y| = |√x-√y|/(|√x-√y|*|√x+√y|) = 1/|√x+√y|

Dieser Term wird maximal, wenn sein Nenner minimal wird, also für x=y=ε:

Es gilt also

|f(x)-f(y)|/|x-y| ≤ L

mit L = 1/(2√ε)

b) Geht nun ε gegen 0, dann geht offenbar L gegen unendlich. Für ε=0 existiert also keine Lipschitzkonstante.

⇒ f ist auf [0, ∞[ nicht Lipschitz-stetig.
von 10 k

|x-y|=√|x-y| *√|x-y|    ABER   |x-y| ≠ |√x-√y|*|√x-√y|!!!!

Man könnte oEdA voraussetzen, dass y < x.

Hat man dann alle Fälle abgedeckt?

+1 Daumen

Hallo

 benutze √x-√a=(x-a)/(√x+√a) für alle a>0  kann man1/ (√x+√a) als L abschätzen, für lim a->0 ist L nicht beschränkt

Gtuß lul

von 70 k 🚀

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