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Es sei a \sqrt{a} +b \sqrt{b} =4 und a·b=1. Berechne a·a \sqrt{a} +b·b \sqrt{b} ohne digitales Werkzeug.

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In der Kettenbruchdarstellung ista=[0;13,1,12],b=[13;1,12]a= [0;13,\overline{1,12}], \quad b=[13;\overline{1,12}]bzw. umgekehrt.

a√a + b√b = √(a3 + 2 + b3) = √((a+b)3 - 3ab(a+b) +2)
= √(((√a+√b)2-2)3 - 3((√a+√b)2-2) + 2) = √((42-2)3 - 3(42-2) +2)
= √(143 - 3·14 + 2)
weiter komme ich nicht ohne digitales Werkzeug.

t war schneller - und besser

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Setze

s2=a,t2=bs+t=4,st=1s^2=a, \, t^2=b\Rightarrow s+t =4,\, st=1

aa+bb=s3+t3=(s+t)(s2st+t2)a\sqrt a + b\sqrt b = s^3+t^3 = (s+t)(s^2-st+t^2)

16=(s+t)2=s2+t2+216 = (s+t)^2 = s^2+t^2 + 2

aa+bb=4(141)=52a\sqrt a + b\sqrt b = 4(14-1) = 52

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 a \sqrt{a} +b \sqrt{b} =4 

Beide Seiten hoch 3:

aa+3ab+3ba+bb=64a\sqrt{a} +3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64

aa+bb=64(3ab+3ba)a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-(3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a})

aa+bb=643ab(a+b)a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})


a \sqrt{a} +b \sqrt{b} =4 und a·b=1 eingesetzt:


aa+bb=64314a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\cdot 1 \cdot 4

aa+bb=52a\sqrt{a} +b\sqrt{b} = 52

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Ich finde diese Herleitung des Ergebnisses noch schöner. Und ist auch nicht länger, weil keine Umformungsschritte weggelassen wurden.

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a*b= 1

b= 1/a

√a+√b = 4

a0,5+ (1/a)0,5=4

substituieren: a0.5 = z

z+1/z =4

z2-4z+1 = 0

z1/2 = 2±√(4-1) = 2±√3

a= z2

a= (2±√3)2 = 4±4√4+3 = 7±√3

b= 1/( 7±√3)

Der Rest ist Formsache.

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Ist der Rest wirklich Formsache?

Du hast Dich bei a vertippt.

Ist der Rest wirklich Formsache?

Ja. Allerdings eben auch mit Arbeit verbunden

mit z = 2 ± √3

a·√a + b·√b = z3 + 1/z3 = 52

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