Es sei a \sqrt{a} a+b \sqrt{b} b=4 und a·b=1. Berechne a·a \sqrt{a} a+b·b \sqrt{b} b ohne digitales Werkzeug.
In der Kettenbruchdarstellung ista=[0;13,1,12‾],b=[13;1,12‾]a= [0;13,\overline{1,12}], \quad b=[13;\overline{1,12}]a=[0;13,1,12],b=[13;1,12]bzw. umgekehrt.
a√a + b√b = √(a3 + 2 + b3) = √((a+b)3 - 3ab(a+b) +2) = √(((√a+√b)2-2)3 - 3((√a+√b)2-2) + 2) = √((42-2)3 - 3(42-2) +2) = √(143 - 3·14 + 2)weiter komme ich nicht ohne digitales Werkzeug.
t war schneller - und besser
Setze
s2=a, t2=b⇒s+t=4, st=1s^2=a, \, t^2=b\Rightarrow s+t =4,\, st=1s2=a,t2=b⇒s+t=4,st=1
aa+bb=s3+t3=(s+t)(s2−st+t2)a\sqrt a + b\sqrt b = s^3+t^3 = (s+t)(s^2-st+t^2)aa+bb=s3+t3=(s+t)(s2−st+t2)
16=(s+t)2=s2+t2+216 = (s+t)^2 = s^2+t^2 + 216=(s+t)2=s2+t2+2
aa+bb=4(14−1)=52a\sqrt a + b\sqrt b = 4(14-1) = 52aa+bb=4(14−1)=52
a \sqrt{a} a+b \sqrt{b} b=4
Beide Seiten hoch 3:
aa+3ab+3ba+bb=64a\sqrt{a} +3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64aa+3ab+3ba+bb=64
aa+bb=64−(3ab+3ba)a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-(3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a})aa+bb=64−(3ab+3ba)
aa+bb=64−3ab(a+b)a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})aa+bb=64−3ab(a+b)
a \sqrt{a} a+b \sqrt{b} b=4 und a·b=1 eingesetzt:
aa+bb=64−3⋅1⋅4a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\cdot 1 \cdot 4aa+bb=64−3⋅1⋅4
aa+bb=52a\sqrt{a} +b\sqrt{b} = 52aa+bb=52
Ich finde diese Herleitung des Ergebnisses noch schöner. Und ist auch nicht länger, weil keine Umformungsschritte weggelassen wurden.
a*b= 1
b= 1/a
√a+√b = 4
a0,5+ (1/a)0,5=4
substituieren: a0.5 = z
z+1/z =4
z2-4z+1 = 0
z1/2 = 2±√(4-1) = 2±√3
a= z2
a= (2±√3)2 = 4±4√4+3 = 7±√3
b= 1/( 7±√3)
Der Rest ist Formsache.
Ist der Rest wirklich Formsache?
Du hast Dich bei a vertippt.
Ja. Allerdings eben auch mit Arbeit verbunden
mit z = 2 ± √3
a·√a + b·√b = z3 + 1/z3 = 52
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