Braucht man da eine Vorzeichentabelle?

Question

Aufgabe: Brauche keine Lösung nur eine Verständnisfrage

TEIL 2: mit Hilfsmittel - Analysis I

1.0 Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto-\frac{1}{2} x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2} \) mit der Definitionsmenge \( D_{f}=\mathbb{R} \). Der Graph der Funktion \( f \) in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit \( G_{f} \) bezeichnet.

1.2 Ermitteln Sie jeweils die Art und Koordinaten aller Punkte, in denen \( G_{f} \) eine waagrechte Tangente besitzen. (7BE)

Die Nullstellen der ersten Ableitungen lauten 0; -2 und -1 das sind meine möglichen Kandidaten für die Stellen eine waagerechten Tangente.

Frage: Jetzt muss ich nur noch die Art der Koordinaten bestimmen, in der Lösung wurde eine Vorzeichentabelle gemacht um zu schauen ob es ein HOP oder TIP ist, wäre es auch möglich KEINE Vorzeichentabelle zu machen sondern nur mir der zweiten Ableitung zu arbeiten und dann schauen ob die Funktion größere oder kleiner als 0 ist oder ist die VZT zwingend notwendig um zu bestimmen ob dort eine Waagerechte Tangente vorliegt

@Mathecoach In diesem Fall ist es doch ein offenes Intervall also das prüfen auf Randextrema ist in diesem Fall obsolet oder?

Answer 1

Wenn ein nach unten geöffnetes Polynom 4. Grades, welches die maximale Anzahl von drei Stellen mit waagerechter Tangente besitzt, dann sind dieses wirkliche Extrempunkte und zwar von links nach rechts ein Hoch- ein Tief- und wieder ein Hochpunkt.

Das gilt übrigens immer.

Ein Polynom n. Grades kann maximal n Nullstellen haben. Die Ableitung vom Grad n - 1 kann maximal n - 1 Nullstellen haben. Existieren alle diese n - 1 Nullstellen dann sind das alles Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und damit wirkliche Extrempunkte.

Wenn man dann noch das Verhalten im Unendlichen kennt, weiß man auch, was für Extremstellen man am weitesten links- und rechts besitzt.

f(x) = - 1/2·x^4 - 2·x^3 - 2·x^2 = 0 --> x = -2 (zweifach) ∨ x = 0 (zweifach)

Bereits an den Nullstellen der Originalfunktion kann man erkennen das dies Extremstellen sind, weil dort eine zweifache Nullstelle existiert.

f'(x) = - 2·x^3 - 6·x^2 - 4·x = 0 --> x = -2 ∨ x = -1 ∨ x = 0

f(-2) = 0 → HP(-2 | 0)

f(-1) = -0.5 → TP(-1 | -0.5)

f(0) = 0 → HP(0 | 0)

f''(x) = - 6·x^2 - 12·x - 4 = 0 --> x = -1 - √3/3 - 1 ∨ x = -1 + √3/3

Da die 2. Ableitung eine Funktion 2. Grades mit maximal zwei Nullstellen ist, haben wir hier also auch zwei wirkliche Wendestellen

Comments

Wenn nach den Nullstellen gefragt ist, muss da x und y Koordinate angeben oder reicht nur x = ... ?

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Na ja, wie wird denn wohl der y wert sein?  ;-)

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Achte auf den Unterschied "Stelle" und "Punkt". Nullstellen sind, die Stellen, an denen der Funktionswert 0 ist. Also die x-Werte. Schnittpunkte mit der x-Achse haben die Form (x,0).

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Mit einer Stelle wird immer nur nach einer x-Koordinate gefragt.

Bestimme die Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Stellen mit waagerechter Tangente, fragt immer nur nach den x-Koordinaten der betreffenden Punkte.

Anders wenn gefragt ist, bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse, die Extrempunkte oder Wendepunkte. Da wird dann nach der x- und y- Koordinate in Form eines Punktes verlangt.

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Wie würdest du die 1.2 Aufgabe erklären nur im Allgemeinen.

Ich würde das so machen.

Eine Tangente ist eine Gerade welche eine Funktionsgleichung in einem Punkt berührt.

Das besondere einer waagerechten Tangente ist, dass sie eine Steigung von 0 hat d.h eine Parallele zur x-Achse.

Und die Stelle an den die Tangente die Funktion berühren tut, haben beide die gleiche Steigung in unserem Fall also 0

Und mögliche Kandidaten sie TIP HOP Sattelpunkte.

Wäre da so korrekt das dass auch alle verstehen also nicht so mathematisch

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Du meinst das richtige, du hast aber eine recht schlechte Ausdrucksweise.

Z.B. berührt die Tangente natürlich nicht die Funktionsgleichung in einem Punkt. Achte also genau darauf, was du schreibst. Evtl. kann auch eine KI beim Formulieren etwas helfen. Aber nimm das nicht so tragisch. Auch ich mache oft noch Formulierungsfehler. Ich würde es wie folgt beschreiben:

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt.
Dabei stimmen Funktionswert und Steigung (erste Ableitung) überein.

Waagerechte Tangenten gibt es, wo die Steigung der Funktion 0 ist. Dafür setzt man die erste Ableitung gleich 0 und löst nach den Stellen x auf.

An diesen Stellen können Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte liegen. Um herauszufinden, welcher Punkt vorliegt, nutzt man das Vorzeichenwechselkriterium oder das Kriterium über den Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle.

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An den Stellen x = -2 und x = 0  ist ja eine Waagerechte Tangente aber wenn man jetzt die Gerade Zeichen tut, hat die Tangente doch 2 Berührpunkte einmal bei -2 und 0 oder nicht

So zum Beispielejat sie aber nur eine

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An den Stellen x = -2 und x = 0  ist ja eine Waagerechte Tangente aber wenn man jetzt die Gerade Zeichen tut, hat die Tangente doch 2 Berührpunkte einmal bei -2 und 0 oder nicht

Das ist richtig. Deswegen wäre es verkehrt zu sagen, dass eine Tangente eine Gerade ist, die den Graphen einer Funktion an genau einer Stelle berührt. Es können auch mehrere Stellen sein, wie du sehen kannst.

Du musst hier das genau weglassen.

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Wie wäre die Tangetengleichung bei -2 und 0? Das ist ja die x-Achse?

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Genau. Also als Funktionsgleichung

t(x) = 0

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Und beweisen das die Funktion kein Sattelpunkt hat wäre das ausreichend

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Beachte, dass es für f''(x) = 0 kein Sattelpunkt sein muss. Vergleiche diesbezüglich die Funktion

f(x) = x^4
f'(x) = 4x^3 = 0 → x = 0
f''(x) = 12x^2
f''(0) = 0 → Keine Aussage was für ein Punkt vorliegt. Könnte ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt sein.

Da 4x^3 = 0 eine Nullstelle bei x = 0 mit Vorzeichenwechsel von - zu + hat, ist an der Stelle x = 0 ein Tiefpunkt.

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Uns wie kann ich dann beweisen das es kein Sattelpunkt gibt?

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Ich meine wenn es 0 wäre dann müsste man die dritte Ableitung machen und die darf nicht 0 sein, aber bei mir ist ja keine 0 also gibt es ja auch kein Satellpunkt

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Offenbar hast du noch einige Verständnisprobleme, was die Zusammenhänge angeht. Oder du verwirrst dich einfach gerne selbst oder andere tun es. Du hast doch oben genau geschlussfolgert, dass es keinen Sattelpunkt gibt. Wieso stellst du jetzt die Frage, wie du es beweisen kannst?

Aber ich denke, die Verwirrung kommt daher, weil MC auf deine Frage (auch auf deine ursprüngliche Frage im Anfangspost) gar nicht eingegangen ist, sondern stattdessen mit einem Sachverhalt daherkommt, der mit deiner Frage nichts zu tun hat.

Und beweisen das die Funktion kein Sattelpunkt hat wäre das ausreichend

Ja, das ist ausreichend, denn wenn alle möglichen Stellen mit waagerechter Tangente Extremstellen sind (hast du mit der zweiten Ableitung gezeigt), dann kann logischerweise kein Sattelpunkt vorliegen. Wie auch? Der Kommentar von MC hat nichts mit deiner Frage zu tun, also lass dich davon nicht verwirren. Er verweist lediglich darauf, dass im Falle von \(f''(x)=0\) keine Aussage getroffen werden muss. Das liegt bei dir aber gar nicht vor, ist also irrelevant. Das habe ich aber bereits in meiner Antwort weiter unten erklärt. Wenn man eine Vorzeichentabelle macht, kann das oben genannte Problem nicht auftreten, weil man dann direkt am VZW erkennen kann, um was für eine Stelle es sich handelt. Sattelpunkte kommen aber in Abituraufgaben eher seltener vor, so dass die Variante mit der zweiten Ableitung schon sinnvoll ist. Zumindest bei ganzrationalen Funktionen. Aber auch das habe ich in meiner Antwort erläutert.

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Wieso stellst du jetzt die Frage, wie du es beweisen kannst?

Naja, wenn der Lehrer mich Fragen würde, warum die Funktion keinen Sattelpunkt hat, dass ich da die Antwort weiß. Hat sich aber geklärt, ich habe es verstanden.

Aber noch eine Verständnis Frage, hoffe die ist auch nicht so "Dumm"

Wenn ich die Tangente oben beim Bild bei y = -0,5 anlegen, ist ja bei beim TIP x = 1 der Berühpunkt soweit okay aber die Tangente berüht doch den Graphen bei ca. - 2,3 wieder was hat das damit aufsich, dort ist ja die Steigung nicht 0 oder geht eine Tangente nicht so weit ins Unendliche?

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... aber die Tangente berüht doch den Graphen bei ca. - 2,3 wieder was hat das damit aufsich, dort ist ja die Steigung nicht 0 oder geht eine Tangente nicht so weit ins Unendliche?

Das wäre doch kein Berührpunkt an der Stelle -2.3 sondern eher ein Schnittpunkt. Wo eine Tangente den Graphen schneidet ist erstmal völlig wurscht. Wichtig ist der Berührpunkt.

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Achso okay, Berührpunkt und Schnittpunkt sind 2 verschiede Sachen, verstanden.

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Wenn ich die Tangente oben beim Bild bei y = -0,5 anlegen, ist ja bei beim TIP x = 1 der Berühpunkt soweit okay aber die Tangente berüht doch den Graphen bei ca. - 2,3 wieder was hat das damit aufsich, dort ist ja die Steigung nicht 0 oder geht eine Tangente nicht so weit ins Unendliche?

Deswegen ist es wichtig, wenn man von Tangenten spricht, immer auch zu erwähnen, dass es um die Tangente am Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0=\ldots\) geht. Daher finde ich auch die Erklärung

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt.
Dabei stimmen Funktionswert und Steigung (erste Ableitung) überein.

von MC nicht so optimal.

Besser: Eine Tangente am Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0=\ldots\) ist eine Gerade, die den Graphen von \(f\) im Punkt \((x_0|f(x_0))\) berührt (und nicht schneidet). Es stimmen Funktionswert und Steigung von \(f\) und der Tangente an dieser Stelle überein. Bei einer waagerechten Tangente beträgt die Steigung folglich 0.

Es ist sogar möglich, dass dieselbe Tangente mehrere Berührpunkte mit dem Graphen hat. Betrachte dazu die \(x\)-Achse als Tangente im obigen Bild, welche die Hochpunkte als Berührpunkte mit dem Graphen hat.

Answer 2

Es ist kein offenes Intervall, aber es gibt dennoch keine Randextrema, da es ja auch keinen Rand gibt.

Bei ganzrationalen Funktionen wie hier, geht es über die zweite Ableitung schneller. Das ist also erlaubt. Bei e-Funktionen empfehle ich das Vorzeichenwechselkriterium, wenn es schneller geht als die Funktion ein weiteres Mal abzuleiten. Beachte aber, dass du bei \(f''(x)=0\) keine Aussage treffen kannst und dann das VZW nutzen musst.

Grundsätzlich: Deine Lösung muss mathematisch korrekt sein. Welches Vorgehen man da wählt, spielt in der Regel keine Rolle, es sei denn, die Aufgabe gibt Entsprechendes vor.

Comments

Für ein Polynom vierten Grades mit negativem Leitkoeffizienten und drei Nullstellen seiner Ableitung benötigt man weder eine Vorzeichentabelle noch eine zweite Ableitung, um die "Art der Punkte" festzustellen.

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R ist eine unbeschränkte Menge und wird manchmal auch in Intervallschreibweise (-∞ ; +∞) geschrieben. Trotzdem wird R nicht als offenes Intervall bezeichnet.

Ein offenes Intervall ist eine begrenzte Teilmenge von R

z. B. (a ; b) = {x ∈ R ∣ a < x < b}

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Mathematik)

Answer 3

Du kannst auch mit der zweiten Ableitung arbeiten. Eine Vorzeichentabelle ist nicht zwingend nötig. Das Verhalten für \(  \lim_{x \to \pm \infty} f(x) \) kannst Du separat untersuchen.

Da der dominierende Term \( -\frac{1}{2} x^4 \) lautet ist der Grenzwert jeweils \( -\infty \)