Die Idee mit den gleichnamigen Brüchen ist gar nicht so verkehrt und lässt sich dann auch gut auf die Division mit Rest zurückführen. Bei der Division \(12\,:\,5\) fragt man ja auch gerne Wie oft passt die 5 in die 12? Antwort: \(2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\) mal. Wie lässt sich das nun auf Brüche übertragen?
Wir wollen \(\frac{3}{4}\) durch \(\frac{4}{5}\) teilen. Also fragen wir uns, wie oft passen \(\frac{4}{5}\) in \(\frac{3}{4}\)? Dazu könnte man jetzt verschiedene Zeichnungen anfertigen lassen und vielleicht käme der eine oder andere Schüler dann auch auf die Idee, dass es sich einfacher abzählen lässt, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben (man also eine gleiche Einteilung wählt, wenn man zum Beispiel einen Einheitsbalken zeichnen lässt und diesen unterteilt). Das führt nun dazu, dass wir die Division \(\frac{15}{20}\,:\,\frac{16}{20}\) erhalten, was sich auf die Division \(15\,:\,16=\frac{15}{16}\) zurückführen lässt.
Dem schlauen Schüler fällt nun vielleicht auf (oder nach mehreren Beispielen), dass beim Erweitern jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitert wird (im einfachsten Fall und somit ohne Berücksichtigung eines kgVs) und der gemeinsame Nenner ohnehin nicht gebraucht wird: oben steht dann also der Zähler von Dividend multipliziert mit dem Nenner des Divisors und unten steht der Nenner vom Dividend multipliziert mit dem Zähler des Divisors.
Es ist quasi nur noch eine Multiplikation über Kreuz. Geht man jetzt noch einen Schritt weiter, stellt man fest, dass man das gleiche Ergebnis erhält, wenn man den Divisor einfach umdreht. Damit haben wir also unsere Division ersetzt durch die Multiplikation mit dem Kehrbruch des Divisors.
Es bliebe für die Schüler dann noch herauszufinden, weshalb es nicht funktioniert, wenn man den Dividenden umdreht. Das ließe sich aber an zahlreichen Beispielen entdecken.
