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f(x)=a*e-bx+c  Das ist ja die Formel dazu

Aufgabe:

Der Wirkstoff eines Medikaments wird vom Körper unbeschränkt exponentiell abgebaut. 48 Minuten nach der Medikamentengabe sind in einem Liter Blut 7.5mg der Wirkstoffsubstanz nachweisbar, nach weiteren 180 Minuten nur noch 2.5 mg.

a) Stellen Sie die in einem Liter Blut enthaltene Medikamentenmasse m(t) als Funktion der Zeit t dar. Gehen Sie dabei von der vereinfachenden Annahme aus, dass sich der Wirkstoff ohne Zeitliche Verzögerung im Körper ausbreitet.

b) Zeigen Sie, dass die Medikamentenmasse in 1 Minute prozentual stets um den selben Wert abnimmt.

 

wie muss ich hier vorgehen?

von 7,1 k
Unknoown kannst du mir bitte helfen? :)
emre123,

ich werde dir helfen. Ich fange jetzt an.

mfg Georg
@Emre:

Ja, kann ich tun ;). Da Georg aber schon am rechnen ist, spare ich mir die Arbeit (habe zwar schon angefangen, aber mich iwo vertan, zumindest kommen krumme Zahlen raus und habe sie jetzt nicht kontrolliert^^).


Einen Ansatz kann ich aber schon mal liefern, damit Du Dich gleichzeitig mit Georg befassen kannst.

Du hast zwei Werte gegeben. Stelle ein Gleichungssystem auf und löse. Du hast ja zwei Unbekannte a und b (das c dürfte 0 sein, da das Medikament ja iwann aus dem Körper verschwindet, wir also iwann mal bei/nahe 0 landen wollen).


Grüße
Es geht auch einfacher: (Zwischen beiden Zeitpunkten liegen 132 Minuten).

2,5=7,5*e^{-b*132}

ln(2,5/7,5)=-b*132

b= ...


Oder mit f(x)=a*qt

2.,5=7,5*q^132

q= (2,5/7,5)^{1/132}

q= ...

(q=e^-b)
Ah seh grad was Du meinst. Yup passt ;).

Stellt sich nur die Frage, wie man da auf a kommt. Bzw. t so verwenden kann, dass man es nicht immer umrechnen muss. Das von Georg will mir da eher gefallen ;).

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort
Der Wirkstoff eines Medikaments wird vom Körper unbeschränkt exponentiell abgebaut. 48 Minuten nach der Medikamentengabe sind in einem Liter Blut 7.5mg der Wirkstoffsubstanz nachweisbar, nach weiteren 180 Minuten nur noch 2.5 mg.

a) Stellen Sie die in einem Liter Blut enthaltene Medikamentenmasse m(t) als Funktion der Zeit t dar. Gehen Sie dabei von der vereinfachenden Annahme aus, dass sich der Wirkstoff ohne Zeitliche Verzögerung im Körper ausbreitet.

f ( x ) = a * e^{-bx}

c kannst du weglassen weil
f ( 0 ) = a * e^{-b*0} = a * 1 = a

f ( 0 ) hat bereits den Anfangswert a.

2 Aussagen
f ( 48 ) = a * e^{-b*48} = 7.5
f ( 180 ) = a * e^{-b*180} = 2.5

2 Gleichung mit 2 Unbekannten. Die werden wir einmal
teilen. Dadurch fliegt a raus.

e^{-48b} / e^{-180b} = 7.5 / 2.5
e^{-48b+ 180b} = 3
ln (e^{132b}) = ln(3)
132 * b =ln(3)
b = 0.008323
In die 1.Aussage eingesetzt
a * e^{-0.008323*48} = 7.5
a * 0.671 = 7.5
a = 11.183
Probe mit der 2.Aussage
f (180 ) = 11.183 * e^{-0.008323*180} = 2.5
2.5 = 2.5

Gleich geht´s weiter
von 83 k

f  ( t  ) = 11.183 * e-0.008323*t

b) Zeigen Sie, dass die Medikamentenmasse in 1 Minute prozentual
stets um den selben Wert abnimmt.

Jetzts wird etwas theoretisch, aber ich möchte dies allgemeingültig
aufzeigen.

Beispiel Zinsrechung eines Kapitals
Zinsen = 4 %
Zinsfuß = 1.04
Endkapital = anfangskapital * Zinsfuß^{t}
t = 1 : 1.04^1 = 1.04
t = 2 : 1.04^2 = 1.0816
usw
Allgemeine Formel zur Exponentialfunktion in Prozent
A = Anfangswert
z = Faktor = 1.00 + Prozent ( z.B. 4 % ) = 1.04
g ( t ) = A * z^t
Beide Funktionen müssen identisch sein
f ( t ) = g ( t )
Die Graphen sind identisch.
A bei g = f ( 0 ) = 11.183 ( Anfangswert )
11.183 * e-0.008323*t = A * z^t  | A und 11.183 entfallen
e-0.008323*t = z^t  | ln auf beiden Seiten
-0.008323 * t = ln ( z^t ) = t * ln( z )
-0.008323 * t = t * ln( z )  | / t
ln ( z ) = -0.008323
z = 0.9917
1.0 - 0.9917 = 0.0083
0.83 %
Probe
g ( 48 ) = 11.183 * 0.9917^48
g (48 ) = 11.183 * 0.67 = 7.5  | Stimmt

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 


 



 

Das ist sooooooooooooo schwer Oo

Aber Danke Georg!
Hallo emre,

  ich habe mich jetzt auch nocheinmal mit Exponentialfunktioen
beschäftigt. Allgemein : die Funktionen heißen deshalb so weil
die Variable x im Exponent vorkommt.

a^{b*x}
Die bekannteste
e^{b*x}
Beispiel
e^{0.8*x}
Die Basis a kann prinzipiell beliebig gewählt werden.
z.B. 1.04 für Zinsberechnung : entspricht 4 % Verzinsung
Beispiele
e^{0.8*x} = 2^{b*x}
ln [ e^{0.8*x} ] = ln [ 2^{b*x} ]
0.8 * x = b * x * ln ( 2 )
0.8 = b * ln ( 2 )
b = 0.8 / ln ( 2 )
b = 1.154
e^{0.8*x} = 2^{1.154*x}
Du kannst dir beide Funktionen einmal
zeichnen lassen. Sie sind identisch.
Fürs Prozentrechnen ist b = 1
e^{0.8*x} = a^{x}
ln [ e^{0.8*x} ] = ln [ a^{x} ]
0.8 * x = x * ln ( a )
ln ( a ) = 0.8
a = e^0.8
a = 2.223
Prozent 122.3 %
e^{0.8*x} = 2.223^{x}

emre du machst es dir zu schwer.
Dir fehlen teilweise die Grundlagen.
Deshalb hast du immer dieselben Schwierigkeiten.
Gib dir etwas Zeit und erlerne die Grundlagen.

mfg Georg

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