1.)
$$ \int _ { l } ^ { e ^ { 2 } } \frac { \ln ( x ) } { x } dx \qquad | \text { Substituiere: } y = \ln ( x ) , d y = \frac { d x } { x } \\ = \int _ { 0 } ^ { 2 } y \; dy = \left[ \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { 2 } = 2 $$
Setzt man in die ermittelte Stammfunktion y²/2 wieder die ursprüngliche Funktion y=ln(x) ein, erhält man die Stammfunktion:
\( F(x) = ln(x)2/2+C \)
2.)
$$ \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } \quad | \text { Substituiere: } x = \tan ( y ) , d x = \frac { d y } { \cos ( y ) ^ { 2 } } $$
$$ { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d y } { \cos ^ { 2 } ( y ) \left( 1 + \frac { \sin ^ { 2 } ( y ) } { \cos ^ { 2 } ( y ) } \right) } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d y } { \cos ^ { 2 } ( y ) + \sin ^ { 2 } ( y ) } = \int _ { 0 } ^ { \pi } d y } \\ = { \left. y \right| _ { 0 } ^ { \pi } = \pi } $$
Die Stammfunktion lautet dementsprechend:
F(x) = arctan(x) + C
3.)
$$ \int _ { 3 } ^ { 6 } ( x + 2 ) \sqrt { x - 2 } d x = \int _ { 3 } ^ { 6 } \left( \sqrt { x - 2 } ^ { 2 } + 4 \right) \sqrt { x - 2 } d x $$
Substituiere: \( y = \sqrt { x - 2 } , x = y ^ { 2 } + 2 , \quad d x = 2 y d y \)
$$ = \int _ { 1 } ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } + 4 \right) y \cdot 2 y d y = \int _ { 1 } ^ { 2 } \left( 2 y ^ { 4 } + 8 y ^ { 2 } \right) d y = \left[ \frac { 2 y ^ { 5 } } { 5 } + \frac { 8 y ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 1 } ^ { 2 } $$
$$ = \frac { 2 \cdot 32 } { 5 } + \frac { 8 \cdot 8 } { 3 } - \frac { 2 } { 5 } - \frac { 8 } { 3 } = \frac { 62 } { 5 } + \frac { 56 } { 3 } = \frac { 186 + 280 } { 15 } = \frac { 466 } { 15 } $$
Stammfunktion durch Resubstitution:
$$ F ( x ) = \frac { 2 \sqrt { x - 2 } ^ { \; 5 } } { 5 } + \frac { 8 \sqrt { x - 2 } ^ { \; 3 } } { 3 } $$
