Induktion: Arithmetische Summe ∑i=1ⁿ k = n(n+1)/2

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Die Behauptung

$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(n+1) }{ 2 }$

ist falsch!
Denn schon für n = 1 ist der Wert der Summe nicht $\frac { n(n+1) }{ 2 } =\frac { 1*2 }{ 2 } =1$ sondern $k$ .
Und für beliebiges n ≥ 1 ist der Wert der Summe $n * k$ .

Warum? Weil der Index der Summe i ist !

Damit ergibt sich:

$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =k+k+...(n\quad mal)...+k=n*k$

Die Behauptung wäre richtig, wenn der Index der Summe k wäre.

Dann nämlich gilt:

$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =1+2+...+n=\frac { n(n+1) }{ 2 }$

Beweis (vollständige Induktion):

Induktionsanker:

Für n = 1 gilt :

$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ k } =1=\frac { 1(1+1) }{ 2 }$

Induktionsvoraussetzung:

Gelte für festes n ≥ 1:

$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } = \frac { n(n+1) }{ 2 }$

Induktionsbehauptung:

Dann gilt für n + 1:

$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$

Beweis:

$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } +n+1$ Induktionsvoraussetzung anwenden: $=\frac { n(n+1) }{ 2 } +n+1$ Mit 2 erweitern: $=\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 2(n+1) }{ 2 }$ Auf gemeinsamen Bruchstrich schreiben $=\frac { n(n+1)+2(n+1) }{ 2 }$ (n+1) ausklammern: $=\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$ q.e.d

Beantwortet 15 Mai 2014 von JotEs

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