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Aufgabe:

(I) \( \frac{3 x}{4}+\frac{7}{12}=2-\frac{2}{9} y \)
(II) \( \frac{2 y}{5}+\frac{3}{10}=1+\frac{x}{2} \)

Gleichungssysteme im Additionsverfahren mit Brüchen lösen.

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(I) \( \frac{3 x}{4}+\frac{7}{12}=2-\frac{2}{9} y \)
(II) \( \frac{2 y}{5}+\frac{3}{10}=1+\frac{x}{2} \)

Zuerst forme ich um, sodass x und y auf der linken Seite stehen:

(I)' \( \frac{3}{4} x+\frac{2}{9} y+\frac{7}{12}=2 \)
(II)' \( -\frac{1}{2} x+\frac{2}{5} y+\frac{3}{10}=1 \)

Dann mache ich die Koeffizienten von x und die von y und die beiden Brüche nennergleich:

(I)'' \( \frac{3}{4} x+\frac{10}{45} y+\frac{35}{60}=2 \)
(II)'' \( -\frac{2}{4} x+\frac{18}{45} y+\frac{18}{60}=1 \)

Nun mache ich die Koeffizienten von x (abgesehen vom Vorzeichen) durch 2*(I)'' und 3*(II)'' gleich, sodass diese sich beim Addieren aufheben:

(I)''' \( \frac{6}{4} x+\frac{20}{45} y+\frac{70}{60}=4 \)
(II)''' \( -\frac{6}{4} x+\frac{54}{45} y+\frac{54}{60}=3 \)

Nun addiere ich (I)'''+(II)''' und löse nach y auf:

\( \frac{6}{4} x+\frac{20}{45} y+\frac{70}{60}-\frac{6}{4} x+\frac{54}{45} y+\frac{54}{60}=4+3 \)
\( =\frac{74}{45} y+\frac{124}{60}=7 \)
\( \frac{74}{45} y=7-\frac{31}{15} \)
\( y=\frac{315}{74}-\frac{93}{74}=\frac{222}{74}=3 \)

Nun setze ich y=3 in (I) von oben ein und löse nach x auf:

\( \frac{3}{4} x+\frac{2}{9} · 3+\frac{7}{12}=2 \)
\( \frac{3}{4} x+\frac{6}{9}+\frac{7}{12}=2 \quad\left(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\right) \)
\( \frac{3}{4} x+\frac{8}{12}+\frac{7}{12}=2 \)
\( \frac{3}{4} x+\frac{15}{12}=2 \)
\( \frac{3}{4} x+\frac{5}{4}=\frac{8}{4} \)
\( \frac{3}{4} x=\frac{3}{4} \)
\( x=1 \)

Die Lösungen sind also x = 1 und y = 3.

von 2,5 k

Das ist echt super. Ich hab es fast, nur beim vorletzten Kasten nach y auflösen, häng ich noch. Wäre klasse, wenn du da (für Dummies) es in jedem einzelnen Schritt und auch genau erklärst!

Hier nochmal etwas ausführlicher:

\( \frac{6}{4} x+\frac{20}{45} y+\frac{70}{60}-\frac{6}{4} x+\frac{54}{45} y+\frac{54}{60}=4+3 \quad \) IUmstellen
\( \frac{6}{4} x-\frac{6}{4} x+\frac{20}{45} y+\frac{54}{45} y+\frac{70}{60}+\frac{54}{60}=7 \)
\( \frac{74}{45} y+\frac{124}{60}=7 \quad |-\frac{124}{60} \)
\( \frac{74}{45} y=7-\frac{124}{60} \quad \) | Kürzen
\( \frac{74}{45} y=7-\frac{31}{15} \quad | :\frac{74}{45}, \text{ also } ·\frac{45}{74} \)
\( y=\frac{7 · 45}{74}-\frac{45 · 31}{74 · 15} \) | Kürzen
\( y=\frac{315}{74}-\frac{3 · 31}{74 · 1} \)
\( y=\frac{315}{74}-\frac{93}{74}=\frac{222}{74}=3 \)

Jetzt verstanden? :)

VIELEN DANK! Es ist so schön, wenn aus den ganzen Fragezeichen im Kopf plötzlich Ausrufezeichen werden!

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