Grenzwert einer Funktion: lim(x->0) (LN(COS(a·x) + x)/LN(COS(b·x) + x))

Question

gesucht ist der Grenzwert

lim (x---> 0)  ( ln (cos(ax) +x) / ln(cos(bx) +x))
a,b ≥ 0

EDIT (Lu): Klammerung an die im Kommentar erwähnte Präzision angepasst.

Comments

Bitte lieber zu viele als zu wenige Klammern und gleich alle Voraussetzungen hinschreiben. Das ermöglicht eine speditivere Beantwortung der Fragen.

ich habe hier als bedingung noch a,b ist größer null. spielt das auch noch eine rolle?

Das ist hier v.a. Vorsichtsmassnahme, da der Logarithmus nur von positiven Zahlen definiert ist. Ausserden darf man nicht durch 0 dividieren. Spielt aber hier bei der Antwort nachträglich keine Rolle mehr. 

Beachte aber noch die Rubrik 'ähnliche Fragen', damit du siehst, wie/ob da teilweise Fallunterscheidungen nötig werden, wenn nicht a,b ≥0 schon vorgegeben.

Answer 1

Meinst du

lim (x→0) LN(COS(a·x) + x)/LN(COS(b·x) + x)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E0+LN%28COS%28a%C2%B7x%29+%2B+x%29%2FLN%28COS%28b%C2%B7x%29+%2B+x%29

Dann wäre der Grenzwert 1.

Comments

ja aber es wäre schön wenn du mir noch nen paar zwischenschritte zeigen könntest :)

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Ich wollte nur sichergehen bevor ich Zwischenschritte hinschreibe, dass es der Term ist den du meinst.

lim (x→0) LN(COS(a·x) + x)/LN(COS(b·x) + x)

Wenn du 0 einsetzt steht dort 0 / 0 was nicht erlaubt ist. Jetzt wendest du L'Hospital an. Das heißt Zähler und Nenner getrennt ableiten.

lim (x→0) ((1 - a·SIN(a·x))/(COS(a·x) + x)) / ((1 - b·SIN(b·x))/(COS(b·x) + x))

lim (x→0) (a·SIN(a·x) - 1)·(COS(b·x) + x) / ((b·SIN(b·x) - 1)·(COS(a·x) + x))

Wenn du jetzt 0 einsetzt steht dort -1 / (-1) = 1

Der Grenzwert ist also 1.

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hat sich erledigt .-)

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ich habe hier als bedingung noch a,b ist größer null. spielt das auch noch eine rolle?

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du meinst größer gleich Null

lim (x→0) (a·SIN(a·x) - 1)·(COS(b·x) + x) / ((b·SIN(b·x) - 1)·(COS(a·x) + x))

- (a·SIN(a·0) - 1)·(COS(b·0) + 0) / ((b·SIN(b·0) - 1)·(COS(a·0) + 0))

..spielt keine Rolle. Denn das Produkt von einer Null mit irgendwas ist immer noch eine Null.