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\( f(x)=(x-3)^{2} \cdot(x+2) \)

a) Bestimmen Sie alle relativen Extremwerte über \( \mathbb{R} \) von \( f \).

b) Schränken Sie die Betrachtung auf \( I=[-2,4] \) ein. Welche relativen und absoluten Extremwerte hat die Funktion \( f \) eingeschränkt auf \( I \) ?

c) Geben Sie die Fläche an, die zwischen der Funktion, der \( x \)-Achse und den beiden Geraden \( y=-2 \) und \( y=5 \) eingeschlossen wird.


Meine Lösungen:

a)  f´(x) = 3x^2 -8x - 30

lokale Extreme ->   f´(x) = 0

3x^2 -8x - 3 = 0

Pq Formel - >   x1= 3  , x2= -1/3

wobei x1 und x2 die möglichen Extremstellen sind.


mit der zweiten Ableitung überprüfe ich jetzt diese.

f´´(x) = 6x-8   --- >   f´´(3) = 10

10>0 => d.h es existiert ein lokales Minimum bei x= 3


f´´(-1/3 ) = -10

-10>0 => d.h es existiert ein lokales Maximum bei x= -1/3


Durch das einsetzen der X werte in f(x) bekommt man die dazu gehörigen Y werte.

f(3) = 0

f(-1/3) = 500/27


Damit hat man die beiden Punkte bestimmt.

p1(3,0) relatives Minimum  . p2(-1/3 , 500/27 ) relatives Maximum


Ist bisher das vorgehen korrekt? Gibt es noch Ergänzungen?


b) wenn man die Grenzwert einsetzt

f(-2)  = 0

f(4)  = 3

jetzt ist die Frage welcher Punkt nun das Lokale Minimum und das Absolute Minimum ist?

Da jetzt bei beiden fällen y = 0 ist


c) hier hab ich leider keinen Ansatz

Avatar von

Betrachte erst mal die Skizze: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28x-3%29².%28x%2B2%29

Bei c ) musst du von -2 bis 5 integrieren.

Wenn ich die Skizze betrachte erkenne ich das die Funktion bei einigen x Werten y=0 ist.

Kann ich dann als Schluss Satz zusammen fassen das beide punkte

die Lokale und  zugleich Absolute Minimum werte sind.


c) danke , bin ich noch dabei :)

@Lu : ich glaube in der Frage steckt ein Fehler und es
muß bei c.) heißen x =-2 und x =5

georgborn: Stimmt, das hatte ich so gelesen.

1 Antwort

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Fehlerhinweis

f ( 4 ) = 6 ( nicht 3 )

zu c .) ich glaube in der Frage steckt ein Fehler und es
muß heißen x =-2 und x =5.
Vergleiche die Skizze von Lu.
Alles andere dürften keinen Sinn ergeben.

∫ f ( x ) dx = 1/4 * x^4 - 4/3 * x^3 - 3/2 * x^2 + 18 * x

Die Fläche kann von -2 bis 5 in einem berechnet werden.

Avatar von 122 k 🚀

Kann man als Schluss Satz behaupten das beide Punkte ein relatives Minimum sowohl auch ein absolutes Minimum bilden ?


so absolut sicher bin ich mir auch nicht.

In a.) hast du das

- lokale Maximum ( 1-/3  | 18.52 )  und
- lokale Minimum  ( 3  | 0 ) ausgerechnet

Eine höheren y-Wert als 18.52 gibt es im Intervall
nicht. Damit dürfte der Punkt auch das globale
Maximum sein.

Eine tieferen y-Wert als 0 gibt es im Intervall
nicht. Damit dürfte der Punkt ( 3  | 0 ) auch ein
globales Minimum sein. Dies teilt er sich mit
dem Punkt ( -2  | 0 ).

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