Wurzel ziehen bei dieser Aufgabe: [6.Wurzel aus ( (a2*b)/b-1 )]3

Question

$$\left( \sqrt [ 6 ] { \frac { a ^ { 2 } b } { b ^ { - 1 } } } \right) ^ { 3 } =$$

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen?

Answer 1

Oft ist es hilfreich, statt der Wurzel eine Potenz zu schreiben, gemäß dieser Regel hier:

$$\sqrt [ n ] { a ^ { x } } = a ^ { \frac { x } { n } }$$

Beispiel:

$$\sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } } = 2 ^ { \frac { 3 } { 3 } } = 2 ^ { 1 } = 2$$

In deinem Fall wäre das also

$$(\sqrt [ 6 ] { \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } } ) ^ { 3 } = \left( \left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } } \right) ^ { 3 }$$

Potenzen, die potenziert werden, kann man multiplizieren.

$$\left( \left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } } \right) ^ { 3 } = \left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } \cdot 3 } = \left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$$

Bei einem Bruch, der potenziert wird, kann man den Exponenten auf Zähler und Nenner ziehen, aber vorerst geht da noch was zu vereinfachen, denn im Zähler steht ein b und im Nenner auch, daher:

$$\left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( \frac { a ^ { 2 } \cdot b ^ { 1 - ( - 1 ) } } { 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( a ^ { 2 } \cdot b ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$$

Jetzt, da nur Faktoren in der Klammer sind, kann man den Exponenten auf beide Faktoren ziehen:

$$\left( a ^ { 2 } \cdot b ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = a ^ { 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } } \cdot b ^ { 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } } = a ^ { 1 } \cdot b ^ { 1 } = a b$$

Und fertig ;)

Comments

danke.. soweit ist mir jetzt alles klar.. jedoch bleibe ich an dem Punkt, an dem der negative Exponent des Nenners nach oben geholt wird, stecken. Ich kenne die Regel, die Basen, die einen negativen Exponent aufweisen, über oder unter den Bruchstrich zu holen, um das negative Vorzeichen wegfallen zu lassen. Kann jetzt jedoch nicht ganz erkennen was du da gemacht hast. Das Ergebnis ist aber zumindest richtig ;)

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Also entweder so:

$$\frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } = \frac { 1 } { b ^ { - 1 } } \cdot \left( a ^ { 2 } \cdot b \right) = b ^ { 1 } \cdot \left( a ^ { 2 } \cdot b \right) = a ^ { 2 } \cdot b ^ { 1 + 1 } = a ^ { 2 } \cdot b ^ { 2 }$$

oder

$$\frac { a ^ { 2 } \cdot b } { b ^ { - 1 } } = a ^ { 2 } \cdot \frac { b } { b ^ { - 1 } } = a ^ { 2 } \cdot b ^ { 1 - ( - 1 ) } = a ^ { 2 } \cdot b ^ { 2 }$$

nach der Regel:

$$\frac { a ^ { n } } { a ^ { m } } = a ^ { n - m }$$