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Aufgabe:

Eine Norm ist definiert als eine Abbildung 1 : R4R0+ { }^{1}\|\cdot\|: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} , welche die folgenden Elgenschaften

- x0 \|x\| \geq 0 und x=0x=0 \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0

- λx=λx \|\lambda x\|=|\lambda|-\|x\|

- x+yx+y \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|

Zeige, dass die 1-Norm, definiert durch x1 : =i=1dxi \|x\|_{1}:=\sum \limits_{i=1}^{d}\left|x_{i}\right| , eine Norm auf Rd,dN \mathbb{R}^{d}, d \in \mathbb{N} , definiert, d.h., dass die drei Eigenschaften einer Norm erfüllt sind.

Ab nun wird - so nicht anders vermerkt - nur noch die 2-Norm verwendet, i.e. x2 : =(i=1dxi2)12 \|x\|_{2}:=\left(\sum \limits_{i=1}^{d}\left|x_{i}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

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du sollst einfach die Eigenschaften nachrechnen die da stehen. Sprich ist die Summe der Beträge immer positiv? Wann ist sie 0? usw...

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