Komplexe Zahlen: e^z= i

Question

mich beschäftigt die Frage, wie ich die Gleichung e^z = i lösen kann?

Meine Idee:

Es in die Polarkoodrdinaten umschreiben, also in der Form r*e^i*phi

Aber was mir das genau bringen soll, weiß ich leider nicht.

Answer 1

$$ e^z=i \quad z \in \mathbb{C} $$
$$ z=a+ib $$
$$ e^{a+ib}=i \quad  $$
$$ e^{a} \cdot e^{ib}=i \quad  $$

undsoweiter ...

Comments

Mir ist irgendwie nicht ganz so klar, was ich dann damit anfangen kann.

Also, ich würde dann den logarithmus anwenden. Oder ist mein e^a mein r und das e^ib mein e^i*phi ??

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Ullim: Wie kommst du denn auf x=0?

Ich muss also jetzt den arcsin (1) und arccos (0) errechnen? Und warum?

Und danke schonmal!

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Der komplexe Logarithmus ist eine fürchterliche Funktion und alles andere als eindeutig umkehrbar. Das ist zu vermeiden!

$$ e^{a} \cdot e^{ib}=i \quad  $$
$$ i \quad = 1 \cdot e^{i\frac\pi2} $$
$$ e^{a} \cdot e^{ib}= 1 \cdot e^{i\frac\pi2} \quad  $$

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Wenn Du auf beiden Seiten den Betrag bildest ergibt sich \(  e^x=1 \) und das geht nur für \( x=0 \)

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Ich bin jetzt ein wenig verwirrt. Welche Methode ist denn jetzt besser?

Ich habe für phi übrigens jeweils π/2 raus. Ist das dann schon mein Ergebnis?

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$$ i=1⋅e^{i\frac\pi2} $$
ist genaugenommen
$$ i=1⋅e^{i(\frac\pi2+2k\pi)} $$
um nicht aus den Augen zu verlieren, dass es unendlich viele Lösungen gibt...
$$k \in \mathbb{Z}$$

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Achso, ok. e^2kπ ist alleine gleich 1, was man auch an der graphischen Darstellung hinsichtlich des Einheitskreises sehen kann, oder?

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Also \( \varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \) sind die Lösungen. Wenn man den Logarithmus anwende nwill, muss man bedenken das man komplexe Argumente hat.

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Aber was fange ich denn mit den Lösungen an? Ich habe dann ein Phi, ok. Aber ich wollte doch ein z finden, oder liege ich da falsch?

Mir ist gar nicht ganz klar, wie ich da so ran gehe an sich und wofür bzw. ich darauf komme, ohne dass man mir hilft.

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Sorry, bei mir in meiner Antwort hätte es heissen sollen \( cos(y)+i\cdot sin(y)=i \) und damit hast Du die Lösung für \( y=\frac{\pi}{2}+2k\pi  \) aslo \( \quad z=x+iy=i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)  \quad \) weil ja \(\quad x=0 \) gilt.

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$$ e^a \cdot e^{ib}=1⋅e^{i(\frac\pi2+2k\pi)} $$
wegen gleicher Beträge von
$$ | e^{ib}|=|e^{i(\frac\pi2+2k\pi)}| $$
folgt:
$$ e^a =1 $$
$$ a =\ln(1) $$
$$ a=0 $$
$$  e^{ib}=e^{i(\frac\pi2+2k\pi)} $$
formal wird hier NICHT logarithmiert, sondern die Exponenten verglichen!
$$  {ib}={i(\frac\pi2+2k\pi)} $$
$$  {b}={\frac\pi2+2k\pi} $$
Die Komplettlösung lautet also:
$$z= e^{i(\frac\pi2+2k\pi)} $$

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Ok, also ich danke euch beiden erstmal für eure Hilfe! Werde mir das Morgen in Ruhe anschauen und versuchen, nachzuvollziehen und werde mich bei Fragen nochmal melden :)

Answer 2

Mit \( z=x+iy \quad \) folgt \( \quad e^z=e^x\cdot e^{iy}=i \quad \)
D.h \( \quad x=0 \quad \) und
$$ cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)=i $$
D.h. Du musst die Stellen für \( \varphi \quad \)suchen wo \( \quad sin(\varphi)=1 \quad\) und \( cos(\varphi)=0 \quad \) gilt.

Answer 3

e^z = i 

i = 1*e^{i*π/2 + 2kπi}

Also

e^z = e^{i*π/2 + 2kπi}  | Exponentenvergleich

z = iπ/2 + 2kπi = (π/2 + 2kπ)i, wobei k Element Z.