In jedem Körper ist das neutrale Element ungleich dem Einselement

Question

Zeigen Sie, dass in jedem Körper K (mit mindestens 2 Elementen) das neutrale Element ungleich dem Einselement ist.

Answer 1

Welche Definition von Körper verwendet ihr? Bei der standardmäßigen steht das eigentlich schon in den "Axiomen"r in 2 https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29 (hier in 2.) statt Und ich gehe davon aus, dass du Nullelement statt neutralem Element meinst. Denn auch die 1 ist ein neutrales element, halt für die Multiplikation nicht die Addition.

Comments

Unsere Definition für Ring:

Sei R eine Menge mit 2 Verknüpfungen, + und *. (R, +, *) heißt Ring, wenn folgendes gilt:

1) (R,+) ist eine abelsche/kommutative Gruppe

2) ∀a, b, c ∈ R: a*(b*c)=(a*b)*c

3) ∀a, b, c ∈ R: a*(b+c)= a*b + a*c    bzw. (a+b)*c= a*c + b*c

Die darauf aufbauende Definition für Körper:

Ein Ring (K, +, *) heißt Körper, falls (K ohne 0, *) eine abelsche Gruppe.

Die Angabe hat leider so gepasst :)

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Dann finde ich die Frage (und die Formulierung) seltsam, weil es eigentlich schon da steht:

1 ist ein Elemente von K ohne 0 (da das neutrale Element der zugeh. Gruppe) und damit insb. ist 1 nicht 0.

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Gibt es denn zu (K, +, *) überhaupt ein neutrales Element? Für die Addition wärs ja die 0, für die Multiplikation die 1, aber wenn man beide Operationen berücksichtigt?

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Nein sowas gibt es nicht.

Neutrales Element ist eine Bezeichnung aus der Gruppentheorie und dort hat man immer nur eine Verknüpfung.

Genau deswegen sagt man in Körpern Null(element) und Eins(element).

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Ok, vielen Dank für deine Hilfe!