Grenzwerte berechnen 1. lim x -> 1 von (x²+x-1) / (x-1) und 2. lim x -> 0 von x * sin(1/x) und Beweisen

Question

ich habe nochmal einige Fragen zu den Grenzwerten.

Unzwar habe ich für lim x -> ∞ von ( e^x ) / ( x ) den Satz von De L'Hospital angewendet und komme darauf, dass es gegen ∞ geht, stimmt das?

lim x -> ∞ von ( e^x ) / ( x ) -> Nach dem Satz von De L'Hospital gehen der Zähler und Nenner gegen ∞
Dann habe ich umgeformt auf lim x -> ∞ von ( e^x ) / ( 1 ) und komme auf ( e^∞ ) / ( 1 ) = ∞

Dann habe ich noch zwei Fragen, wie man folgende Grenzwerte berechnen kann:

1. lim x -> 1 von ( x² + x - 1 ) / ( x - 1 )

2. lim x -> 0 von x * sin ( 1/x )

Vielen dank schonmal.

Comments

Hi,

lim_x->∞ e^x/x= Unendlich..hab ich auch

1. L'h

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Das geht so nicht!

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Ahhh stimmt......hab ich jetzt gemerkt ...............

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Hallo emre,

deine erste Antwort ist richtig.

dann aber für

1. lim x -> 1 von ( x² + x - 1 ) / ( x - 1 )
( 2 -1 ) / ( 1 - 1) = 1 / 0

Dafür darf 1. L'h nicht angwendet werden.
Es ist der Grenzwert von links und rechts zu bilden.

mfg Georg

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Hallo Georg :)

Da hast Du Recht... Danke für den Hinweis :)

Answer 1

Ja, es stimmt dass $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$$

1. $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2+x-1}{x-1}: $$ Dieser Grenzwert existiert nicht, da $$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^2+x-1}{x-1}=-\infty \text{ und } \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^2+x-1}{x-1}=+\infty$$

2. $$\lim_{x \rightarrow 0}x \sin \frac{1}{x}: \\ \left | \sin \frac{1}{x} \right | \leq 1  \Rightarrow -1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1\Rightarrow -x \leq x\sin \frac{1}{x} \leq x \\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} (-x) \leq \lim_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \leq  \lim_{x \rightarrow 0} x \Rightarrow 0\leq \lim_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \leq  0 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}=0$$

Comments

Das macht Sinn..

Vielen dank, ich werde es mir mal anschauen und versuchen zu verstehen, was da los ist. :)

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Wieso kann man denn zu 1. direkt sagen,dass der Limes von links = - unendlich ist und das selbe beim Limes von rechts?

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Marvin: x=1 ist keine Nullstelle der Zählers. Daher nicht 'hebbare' Definitionslücke sondern Polstelle.

x - 1 ändert das Vorzeichen bei x=1.

Zähler dagegen nicht. x^2 + x - 1 = 1

Daher Polstelle mit Vorzeichenwechsel von + zu minus unendlich oder umgekehrt. Überlege nun anhand des Vorzeichens von (x-1) auf welcher Seite + und auf welcher - unendlich kommen muss.

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Ich habe mitunter Schwierigkeiten wie hier der Begriff
Grenzwert  oder lim x −> 1 gebraucht wird.

Ich meine die Reihe wäre
linker Grenzwert - Funktionswert - rechter Grenzwert
lim x −> 1(-) - ( x = 1 ) - lim x −> 1(+)

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georgborn. Die Reihenfolge ist so, wie du es sagst.

Beim linksseitigen Grenzwert, werden die x-Werte kleiner als 1 betrachtet. usw.

maiem hat das richtig notiert.

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Danke , Lu.

Und kann man bei 2. auch einfach sagen, man betrachte anstatt von x eine Nullfolge x_n.

Dann hat man: x_n*sin(1/x_n ) 

Jetzt lässt man x gegen unendlich laufen , also der erste Faktor läuft gegen 0  und der zweite ist beschränkt da sin(x)<= 1 ist. Also folgt lim_x->∞  x_n*sin(1/x_n )  = 0 .
Würde das so mit dem Folgekriterium funktionieren?

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marvin: in der letzten Zeile hat maiem jeweils das x vor dem sin unterschlagen.

Was du mit dem Folgenkriterium meinst, dürfte etwas Ähnliches sein, wie maiem da machen wollte.

Würde ich so, wie du das schreibst, auch verstehen.