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Bild Mathematik Ein Tank besitzet eine Zufluss- und eie Abflussleitung. Im Graph sind die Durchflussraten dargestellt: Dreieck: Zuflussrate, Gerade: Abflussrate.

Wie viel befindet sich nach 2 Stunden, nach 4 Stunden, nach 6 Stunden und nach 8 Stunden im Tank bzw. wie wird dies allgemein berechnet?

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3 Antworten

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Beste Antwort

schreibe doch mal die Zufluss- und Abflussfunktionen hin. Wenn Du das hast, kannst Du folgendes Integral für die Werte \(  t = 2, 4, 6, 8 \) berechnen

$$ f_{Füllstand}(t) = \int_0^t \left( z_{Rate}(x) - a_{Rate}(x) \right) dx $$

wobei \( z_{Rate}(t) \) = Zuflaussrate und \( a_{Rate}(t) \) = Abflussrate sind.

von 23 k
Wenn man die Integration ausführt kommt man auf folgendes Ergebnis

$$ f_{Füllstand}(t) = \begin{cases} \frac{1}{8}t^2 , & \text{wenn  } 0 \le t \le 4 \\ -\frac{3}{8}t^2+4t-8 , & \text{wenn  } 4 \le 8 \le 4 \end{cases} $$ Und das sieht so aus.
Bild Mathematik

wie bestimmt mn denn die Zufluss und Abflussfunktion ?

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Allgemeine Formel: vgl. ullims Antwort. Formal stellst du die Geradengleichungen auf und integrierst mit geeigneten Grenzen.

Konkrete Rechnung mit Dreiecksflächen (Dreiecke = halbe Rechtecke) unter deinen Graphen:

Erste 2 Stunden

Zufluss (2 h*1m^3/h)/2 = 1 m^3

Abfluss (2 h*1/2 m^3/h) / 2 = 0.5 m^3

Im Tank nach 2 h: 1m^3 - 0.5 m^3 = 0.5 m^3

Erste 4 Stunden

Zufluss (4 h*2m^3/h)/2 = 4 m^3

Abfluss (4 h*1 m^3/h) / 2 = 2 m^3

Im Tank nach 4 h: 4 m^3 - 2m^3  = 2 m^3

Erste 6 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss = Zufluss nach 4 h + Zufluss in den 2. 2h = 4m^3 + (4-1)m^3 = 7m^3

Abfluss (6 h*3/2 m^3/h) / 2 = 4.5 m^3

Im Tank nach 6 h: 7m^3 - 4.5m^3 = 2.5 m^3

Erste 8 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss= 2*( in ersten vier Stunden) = 8m^3

Abfluss (8 h*4/2 m^3/h) / 2 = 8 m^3

Im Tank nach 8 h: 8m^3 -8m^3 = 0 m^3

Nach 8 h ist der Tank wieder leer.

von 147 k
Vielen Dank für die sehr ausführliche Anwort, insbesondere die Vorrechnung war sehr Hilfreich (da ich ein Referat zu dem Thema halten soll und es sehr hilft korrekte Antworten zur Absicherung zu haben)

Bitte. Gern geschehen!

Allerdings: Ohne nachrechnen darfst du nicht davon ausgehen, dass meine Antworten "sicher richtig" sind.

Du solltest bei Deiner Ausarbeitung beachten, dass der Aufgabe an keiner Stelle zu entnehmen ist, dass der Tank anfangs leer war... die vorgerechneten Lösungen unterstellen aber ganau dieses. Als Lehrer wäre mir dieser Umstand eine Nachfrage wert und als Referent müsstest Du deine Ergebnisse entsprechend interpretieren können!

Ich habe alle Antworten noch einmal nachgerechnet und komme nach deiner Erläuterung auch auf diese Lösungen... der Tank war zu Beginn tatsächlich leer, so das dies die Antwort auch nicht verfälscht hat, ich habe nur vergessen es zu erwähnen. Vielen Dank nochmal

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Bestimme die Differenz der Fläche unter dem Zuflussgraphen und der Fläche unter dem Abflussgraphen im betrachteten Zeitabschnitt und addiere das Ergebnis zu dem (unbekannten) bisherigen Tankinhalt.
von

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