Bestimmung der Symmetrie einer ganzrationalen Funktion. Bsp. f(x) = 0,67x^11 - 4x^7 + 3x^6

Question

Entscheiden Sie, ob der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse bzw. zum Ursprung ist oder ob keine

Symmetrie vorliegt. Führen zu zu a und b einen Beweis für die jeweilig vorliegende Symmetrie.

a) f(x) = 4x³ - 1,2x

b) f(x) = 3x⁶ + 7x² -12

c) f(x) = x⁵ - 4,5x³ - 3,75x - 1,5

d) f(x) = 15

e) f(x) = 0,67x¹¹ - 4x⁷ + 3x⁶ 

f) f(x) = 3(x-1)³ 

g) f(x) = x² * (2-x)² 

h) f(x) = x³ * (x-5) * (x-5)

Answer 1

a)  f ( x ) = 4 + x³ - 1.2* x

Nachweis auf Symmetrie zur y-Achse

f ( -x ) = f ( x )

f (- x ) = 4 + (-x)³ - 1.2* (-x)
f (- x ) = 4 - x³ + 1.2* x  ≠  f ( x )

Die Symmetrie ist nicht gegeben

Nachweis auf Symmetrie zum Ursprung

- f ( -x ) = f ( x )

f (- x ) = 4 -x³ + 1.2* x
- f (- x ) = - 4  + x³ - 1.2* x  ≠  f ( x )

Die Symmetrie ist nicht gegeben

allen anderen Funktionen nach dem selben Schema begutachten

Comments

Du hast einen kleinen Fehler beim Abschreiben gemacht. Denn in seiner Aufgabe steht 4*x^3. Daher haben wir Punktsymmetrie zum Ursprung. Allerdings stimmt es natürlich, dass in deinem abgewandeltem Beispiel keine Symmetrie zum Ursprung vorhanden ist.

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Korrektur

a)  f ( x ) = 4 * x³ - 1.2* x

Nachweis auf Symmetrie zur y-Achse

f ( -x ) = f ( x )

f (- x ) = 4 * (-x)³ - 1.2* (-x)
f (- x ) = - 4  x³ + 1.2* x  ≠  f ( x )

Die Symmetrie ist nicht gegeben

Nachweis auf Symmetrie zum Ursprung

- f ( -x ) = f ( x )

f (- x ) = - 4 * x³ + 1.2* x
- f (- x ) =  4  + x³ - 1.2* x  =  f ( x )

Die Symmetrie ist gegeben

Answer 2

Bei Polynomen ist es einfach die Symmetrieeigenschaften zu erkennen. Man muss sich nur die vorhandenen Potenzen von x anschauen. Bei ausschließlich geraden Potenzen haben wir y-Achsensymmetrie. Bei ausschließlich ungeraden Potenzen haben wir Punktsymmetrie zum Ursprung. Beachte dass die nackten Zahlen eigentlich eine x^0 Potenz sind.

Beim Beweisen setzt man die gegeben Funktionen folgendermaßen gleich:

Achsensym.: f(-x)=f(x)

Ursprungssym.: f(-x)=-f(x)

Das sind die Bedingungen zum Überprüfen auf Symmetrie für jede Funktionen.

Und zum Beispiel wäre b) achsensym. und a) punktsym..

Comments

Ich komme auf folgende Lösungen:

c) Punktsymmetrie

d) Achsensymmetrie

e) keine Symmetrie

f) Punktsymmetrie

g) keine Symmetrie

h) Punktsymmetrie

Ist das so korrekt?

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c) f(x) = x⁵ - 4,5x³ - 3,75x - 1,5

keine Punktsymmetrie zum Ursprung wegen -1.5 = -1.5 x^0

d) f(x) = 15

Achsensymmetrie

e) f(x) = 0,67x¹¹ - 4x⁷ + 3x⁶ 

richtig.

f) f(x) = 3(x-1)³ 

keine Punktsymmetrie zum Urprung.

Punktsymmetrie zu P(1,0) ist ja nicht gefragt.

g) f(x) = x² * (2-x)² 

keine Symmetrie ok.

h) f(x) = x³ * (x-5) * (x-5)

Punktsymmetrie ok.