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Ich habe 258 würfe heraus. wer mag kann das ja mal nachrechnen.

von 385 k 🚀
Die Frage ist so nicht klar formuliert ? Was genau ist gemeint mi "dauern im Durchschnitt" ? Ich halte die Frage in dieser Form für nicht beantwortbar.

Meinst du vielleicht so etwas:

Wie oft muss man mindestens würfeln um mit einer WKT von 99,9 % drei Sechsen zu werfen ?


Nein. Ich fange einfach an zu wurfeln

4-6-1-2-3-2-6-5-3-...

Wie lange dauert es im Durchschnitt bis 3 Sechsen hintereinander fallen. Gesucht ist also der Erwartungswert der Würfe die man tätigen muss.

2 Antworten

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Beste Antwort

Man betrachte das Würfeln als eine Folge von zwei Ereignissen

$$ (1) \quad K = \text{Keine Sechs gewürfelt}  $$

$$  (2) \quad S = \text{Sechs gewürfelt} $$

und stellt sich die Frage, wann zum erstenmal \( n \) Sechsen in Folge auftreten. Wobei \( p \) die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Sechs ist und \( 1-p \) die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer 1,2,3,4 oder 5 ist. Dazu definiert man die folgenden Zufallsvariablen:

Die Zufallsvariable \( T \) sei der Wurf, an dem zum erstenmal \( n \) mal hintereinander eine Sechs gewürfelt wurde. Die Zufallsvariable \( L \)  sei der Wurf, für das erste auftreten einer 1,2,3,4 oder 5.

Wenn man die ersten n Würfe betrachtet, kann man zwei Fälle unterscheiden.

$$  (I) \quad \text{Unter den ersten n Würfen taucht das Ereignis K auf}  $$

$$ (II) \quad \text{Unter den ersten n Würfen taucht das Ereignis S n-mal auf}  $$

Damit ergibt sich für den Erwartungswert von \( T \) folgende Gleichung

$$ (3) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n E[T|L=k] \cdot P(L=k) + E[T|L>n] \cdot P(L>n)  $$ wobei in der Summe die bedingten Erwartungswerte stehen.

Gleichung (3) kann man unter Ausnutzung von $$ E[T|L=k]=k+E[T]  $$ $$ E[T|L>n]=n $$ $$  P(L=k)=p^{k-1}(1-p) $$ und $$  P(L>n)=p^n $$ auch wie folgt schreiben

$$ (4) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n \left( k+E[T] \right)p^{k-1}(1-p) + np^n  $$

Diese Gleichung nach \( E[T] \) auflösen ergibt

$$  (5) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{p^n} $$

Auflösen kann man die Gleichung (4) unter Benutzung der Formeln für die geometrische Reihe und deren Ableitungen, s.

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Siehe auch http://math.stackexchange.com/questions/27989/time-until-a-consecutive-sequence-of-ones-in-a-random-bit-sequence/27991#27991

von 33 k
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Für einen "Würfel" mit n Flächen dauert es im Durchschnitt  ∑ [i=1 bis k] ni  bis k "Sechsen" nacheinander fallen.

von

@Gast hj216:

Es wäre nett wenn du den Kommentar als Antwort schreibst. Diese allgemeine Form kannte ich noch nicht. Ich habe aber gerade mal für mich diese Formel noch etwas allgemeiner hergeleitet.

Ich danke dir für die Anregung.

Kannst Du das auch herleiten oder einen Link einstellen, wo die Herleitung erläutert wird?

// Kommentar zu Antwort konvertiert.

Ich habe noch nie eine Antwort gegeben und gedenke das auch in Zukunft nicht zu tun

Bist Du Dir zu fein dafür? Oder schreibst Du solche Formeln nur irgendwo ab ohne sie zu verstehen? Das könnte ja vielleicht der Grund sein, oder?

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