Steigungswinkel von einer Gerade durch durch die Punkte (- √ 27, -2) und (0, 1) berechnen

Question

a) Bestimmen Sie ohne Taschenrechner und Tafelwerk, welchen Steigungswinkel die Gerade hat, die durch die Punkte (- "Wurzel 27", -2) und (0, 1) verläuft.

b) Vereinfachen Sie die folgenden zwei Terme:

\( 2 ( 1 - \sin x ) ( 1 + \sin x ) \tan x \)

\( \sin ^ { 2 } x - \sin ^ { 4 } x - \cos ^ { 4 } x \)

Kann mir jemand hier helfen?

Answer 1

(- "Wurzel 27", -2) und (0, 1)

m = (1-(-2))/(0 - (-√27)) = 3/√27 = 3/(3√3) = 1/√3

Da ich weiß, dass der sin(30 Grad) = 1/2 ist und cos(30 Grad) = √3/2 und tan(x) = sin(x) / cos(x) sehe ich das das 30 Grad sein kann.

2*(1 - sin(x))*(1 + sin(x))*tan(x)
2*(1 - sin(x)^2)*tan(x)
2*cos(x)^2*tan(x)
2*cos(x)*sin(x)

Hei weiß ich das es ein Additionstheorem gibt. Leider kenne ich die nicht auswendig sodass ich hier mal im Tafelwerk schauen muss. ok. das ist:

sin(2x)

Aber wie gesagt. Die habe ich leider nicht auswendig drauf :(

sin(x)^2 - sin(x)^4 - cos(x)^4
sin(x)^2 - sin(x)^2*sin(x)^2 - cos(x)^4
sin(x)^2*(1-sin(x)^2) - cos(x)^4
sin(x)^2*cos(x)^2 - cos(x)^4
(1 - cos(x)^2)*cos(x)^2 - cos(x)^4
cos(x)^2 - cos(x)^4 - cos(x)^4
cos(x)^2 - 2cos(x)^4
cos(x)^2*(1 - 2cos(x)^2)

Das würde jetzt zum Lösen von Nullstellen langen. Ich weiß nicht ob es noch weiter vereinfacht werden kann. Da müsste ich dann wieder im Tafelwerk nachsehen. Aber vielleicht langt das ja auch so schon.

Answer 2

Aufgabe a):

Punkte:
P(x; y);
P1(-sqrt(27); -2);
P2(0; 1);

Steigung:
m = (y1-y2) / (x1-x2) = (-2-1) / (-sqrt(27)-0) =
     = 1/sqrt(3); // siehe Dreieck oben links

Da ohne Formelsammlung oder sonstige Hilfsmittel gearbeitet werden soll, nun folgender Ansatz:
Die beiden einfachsten Winkel die man durch Konstruktion erhalten kann sind der 60° Winkel im Gleichseitigen Dreieck und der 45° Winkel im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck.

45° kommen nicht in Frage da die beiden Seiten im Steigungsdreieck nicht gleich sind.
Beim gleichseitigen Dreieck stimmt das Seitenverhältnis überein, der Winkel ist also 30°.


Aufgabe b):
1) 2*(1-sin²(x))*tan(x) = 2*cos²(x)*sin(x)/cos(x) = 2*cos(x)*sin(x) = sin(2x);
2) Bist Du Dir sicher, dass es -cos⁴(x) und nicht +cos⁴(x) heißt?
   # für -cos⁴(x) lautet das Ergebnis:
      -cos²(x)*cos(2x);
   # für +cos⁴(x) lautet das Ergebnis:
       +cos²(x);