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Hallo Mathefreunde,


ich komme mit folgender Exponentialgleichung nicht weiter:

e - e-x = ex - e

Wolfram Alpha schlägt vor, beide Seiten mit ex zu multiplizieren, so dass man auf folgendes kommt:

ex+1 - 1 = e2x - ex+1

So weit, so gut. Aber wie geht es jetzt weiter?

Mit Substitution?


Vielen Dank im voraus

Andreas

Gefragt von 31 k

4 Antworten

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Beste Antwort
e - e-x = ex - e
2 * e = e^x + e^(-x)   | * e^x
2 * e * e^x = ( ex  ) ^2 + 1

Ersetzen : e^x = a

2 * e * a = a^2 + 1
a^2 - 2 * e * a = -1  | quadratische Ergänzung
a^2 - 2 * e * a + e^2 = e^2 - 1
( a - e )^2 = e^2 -1
a - e = ± √( e^2 -1 )
a = ± 2.528 + e
a = 5.246
und
a = 0.19

e^x = 5.246
x = ln (5.246 ) = 1.657

Probe
e -e^(-1.657) = e^(1.657) - e
2.528 = 2.525 ( kleiner Rundungsfehler )

Überprüfung der 2.Lösung überlasse ich dir.
Beantwortet von 78 k

@ georgborn:

Vielen Dank!

Gern geschehen.

Nutzen wir auch noch den Plotter zur Überprüfung


~plot~ e - e^((-x)) ; e^(x) - e ~plot~   

Sehr schön - dachte mir schon, dass es passt :-)

Lieben Gruß

Andreas

+2 Daumen

Es gibt auch noch eine Lösung ohne Substitution:  

Schreibfaule Menschen haben für (e^x+e^(-x))/2 = cosh(x)  

einen neuen Funktionsnamen ausgedacht, also  

e-e^(-x)=e^x-e | +e^(-x)+e  

2e = (e^x+e^(-x)) | /2 

e = (e^x+e^(-x))/2 = +/- cosh(x) | Umkehrfunktion  

x = +/-acosh(e) = +/-log(A188739)   

habe mehrere 1000 Stellen ... :-) 

Bild Mathematik

Beantwortet von 4,8 k

Über 20000 Stellen dieses Ergebnisses ergeben diese tolle 3D Landschaft:  

Bild Mathematik

@ hyperG:

Vielen Dank!

+1 Punkt

ich weiß ja nicht ob das hier als Antwort reicht, aber mit der Substitution y:=ex (ausgehend von deiner ersten Formel) kommst du mit pq-Formel ans Ziel.

Beantwortet von 1,5 k
Man kann die Substitution auch in die 2. Gleichung einsetzen, da man ja dadurch nur die Reihenfolge der Umformungen vertauscht :).

Das stimmt natürlich. Habe mir die Umformung jetzt nicht angeguckt gehabt, aber da sie richtig ist, geht das natürlich auch.^^

@ Yukawah:

Vielen Dank!

+1 Punkt
e^(2x)-2*e^(x+1)= 0

e^x(e^x-2e) = 0

...

Beantwortet von

Du hast die "1" vergessen.

Für sowas wünscht man sich manchmal neben der Spam-Markierung eine Markierung als falsch :D

Ja, farblich hervorgehoben, dass der Fragesteller direkt bescheid weiß. xD

Stimmt. Danke. Dann kommt man um Substitution nicht herum.

e^(2x)-2e*e^x+1 = 0

z^2-2ez+1 = 0

p= -2e, q=1 ...

Auch Dir vielen Dank!

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