Aufgabe 7.3:
Sei \( K \) der Körper \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \).
a) Seien \( V, W \) Vektorräume über \( K \) und \( F: V \rightarrow W \) eine Abbildung, die Bedingung L1 aus Fischer Seite 109 erfüllt. Zeigen Sie, dass \( F \) linear ist, obwohl Bedingung L2 nicht gefordert wurde.
b) In diesem Aufgabenteil bezeichnen \( V:=\wp(M) \) und \( W:=\wp(N) \) zu gegebenen Mengen \( M, N \) die wie in Aufgabe \( 5.2 \) definierten \( K \) Vektorräume. Welche der folgenden Abbildungen sind für alle Mengen \( M, N \) mit \( M \subset N \) linear, welche nicht (natürlich mit Begründung)?
(i) \( F: W \rightarrow V, B \mapsto B \cap M \),
(ii) \( G: V \rightarrow W, A \mapsto N \backslash A \),
(iii) \( H: V \rightarrow W, A \mapsto\{f(x) ; x \in A\} \), wobei \( f: M \rightarrow N \).
Das Steht auf Seite 109:
Definition. Eine Abbildung \( F: V \rightarrow W \) zwischen \( K \)-Vektorräumen \( V \) und \( W \) heiBt linear (genauer \( K \)-linear oder Homomorphismus von \( K \)-Vektorräumen), wenn
L1 \( \quad F(v+w)=F(v)+F(w) \),
L2 \( F(\lambda v)=\lambda F(v) \)
für alle \( v, w \in V \) und alle \( \lambda \in K \). Diese beiden Bedingungen kann man zusammenfassen zu einer:
L \( \quad F(\lambda v+\mu w)=\lambda F(v)+\mu F(w) \)
für alle \( v, w \in V \) und \( \lambda, \mu \in K \). Man überlegt sich ganz leicht, daß \( \mathrm{Ll} \) und \( \mathrm{L} 2 \) zusammen mit \( \mathrm{L} \) gleichwertig sind.
Es ist üblich, den Begriff Homomorphismus zu verschärfen. Man nennt eine lineare Abbildung \( F: V \rightarrow W \) einen
Isomorphismus, wenn \( F \) bijektiv ist,
Endomorphismus, wenn \( V=W \),
Automorphismus, wenn \( V=W \) und \( F \) bijektiv ist.
Wir notieren einige einfache Folgerungen aus den Axiomen:
Bemerkung. Ist \( F: V \rightarrow W \) linear, so gilt:
a) \( F(0)=0 \) und \( F(v-w)=F(v)-F(w) \).
b) \( F\left(\lambda_{1} v_{1}+\ldots+\lambda_{n} v_{n}\right)=\lambda_{1} F\left(v_{1}\right)+\ldots+\lambda_{n} F\left(v_{n}\right) \).
c) Ist die Familie \( \left(v_{i}\right)_{i \in I} \) in \( V \) linear abhängig, so ist \( \left(F\left(v_{i}\right)\right)_{i \in I} \) in \( W \) linear abhängig.
d) Sind \( V^{\prime} \subset V \) und \( W^{\prime} \subset W \) Untervektorräume, so sind auch \( F\left(V^{\prime}\right) \subset W \) und \( F^{-1}\left(W^{\prime}\right) \subset V \) Untervektorräume.
e) \( \operatorname{dim} F(V) \leq \operatorname{dim} V \).
f) Ist F ein Isomorphismus, so ist auch \( F^{-1} \) : \( W \rightarrow V \) linear.
Und das war Aufgabe 5.2, von der in \( 7.3 \mathrm{~b} \) ) die Rede ist:
Aufgabe 5.2:
Die symmetrische Differenz zweier Mengen \( A \) und \( B \) ist definiert als
\( A \Delta B:=(A \cup B) \backslash(A \cap B) \)
a) Zeigen Sie, dass für eine gegebene Menge \( M \) die Potenzmenge \( V:= \) \( \wp(M) \) (d. h. die Menge aller Teilmengen von \( M \) ) mit der symmetrischen Differenz \( \Delta \) als Verknüpfung eine abelsche Gruppe ist.
b) Sei \( K \) der Körper \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass \( V \) mit der symmetischen Differenz \( \Delta \) als innere Verknüpfung und mit der durch
\( \because: K \times V \rightarrow V, \quad(\lambda, A) \mapsto \lambda \cdot A:=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset, & \text { wenn } \lambda=0 \\ A, & \text { wenn } \lambda=1\end{array}\right. \)
definierten äußeren Verknüpfung ein \( K \)-Vektorraum ist.
