Integration. Parameter so wählen, damit die Fläche den gegebenen Inhalt hat.

Question

in der folgenden aufgabe brauche ich eure Hilfe - Aufgabe 14 a) und c)

Wie muss a gewählt werden, damit die markierte Fläche den angegebenen Inhalt hat?

a) f(x) = 3x² + a²


c) f(x) = ax³ -a²x, a > 0

 

Answer 1

f(x) = ax^3 - a^2*x

Ich würde sagen man müsste erstmal integrieren.

F(x) = a/4*x^4 - a^2/2 * x^2

Das dann in die Grenzen Null und eins setzen und die Differenz der Stammfunktion bilden:

F(1) - F(0) = a/4 - a^2/2 = -7

- a^2/2 + a/4 + 7 = 0

a^2 / 2 - a/4 -7 = 0

a^2 - a/2 -14 = 0

a₁₂ = 1/4 ± √(1/16 + 14)

a₁ = 0,25 + 3,75 = 4

a₂ = 0,25 - 3,75 = -3,5

Die Lösung a=4 entspricht der Grafik.

Answer 2

a)   Integral von -1 bis 2 über 3x^2 + a2 dx = 21

x^3 + x*a^2 in den Grenzen von -1 bis 2   =   21
8 + 8a^2 - ( -1 - a^2 ) = 21
9 + 7a^2 = 21
      7a^2 = 12
         a^2 = 12/7
          a = ± wurzel(12/7)

etc. z.B. Ansatz für b)

Integral von o bis 2 über x^3 + ax  dx = 18 

c)  Integral von 0 bis 1 über ax^3 - x*a^2 dx =   -7  (negativ, da unter der x-Achse)

Comments

Hallo mathef :)

warum habe ich was anderes raus? Habe ich ein Fehler? :(

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Fehlerhinweis
Nicht
8 + 8a² - ( -1 - a² ) = 21
sondern
8 + 2*a² - ( -1 - a² ) = 21

mfg Georg

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Nein ich habe mich verrechnet:

8 + 8a² - ( -1 - a² ) = 21

9 + 9a^2 = 21

gibt dann a= plus/minus 2

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Prophezeiung : ich denke du wirst  doch noch auf deinen Fehler kommen.

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Danke, hat nur was länger gedauert.

Answer 3

Hi,

ich mach dir mal die a) und die c) versuchst Du alleine?

f(x)=3x²+a² soll eine Fläche von A=21 haben.

Deine Nullstellen bzw. die Intervallgrenzen kannst Du direkt ablesen:

x₁=-1 und x₂=2

Nun stelle das Integral auf:

$$ \int_{-1}^{2}3x^2+a^2 dx=x^3+a^2x+C $$

Berechne nun  von der Stammfunktion die Variable aus aus (setze deine Grenzen entpsrechend ein)

x³+a²x

2³+a²2 - ((-1)³+a²(-1)

8+2a²-(-1)-a²)

8+2a²+1+a²

9+3a² = 21 

3a² = 12

a² = 4

a_1/2 = ±2

Nun die Probe durchführen:

$$ \int_{-1}^{2}3x^2+a^2 dx=[x^3+a^2x]{ }_{ -1 }^2 = 16-(-5) = 21FE$$



Alles klar? Angaben ohne Gewähr, da ich noch in der 11. Klasse bin und keine Integralrechnung hatte.

Answer 4

a.)
f ( x ) = 3 * x^2  + a^2
F ( x ) = 3 * x^3 / 3 + a^2 * x
F ( x ) = x^3  + a^2  * x
[ x^3  + a^2 * x ] _-1²
2^3 + a^2 * 2 - ( (-1)^3 + a^2 * (-1) ) = 21
8 + 2 * a^2 - ( -1 - 1 * a^2 ) = 21
8 + 2 * a^2 + 1 + 1 * a^2 = 21
3 * a^2 = 21 - 8 - 1
3 * a^2 = 12
a^2 = 4
a = 2
und
a=-2

b.)
f ( x ) = x^3 + a * x
F ( x ) = x^4 / 4 + a * x^2 / 2
[ x^4 / 4 + a * x^2 / 2 ] ₀² = 18
2^4 / 4 + a * 2^2 / 2 = 18
4 + 2 * a = 18
2 * a = 14
a = 7

Bei Aufgabe b.) steht a > 0. Dies scheint mir mehr für Aufgabe a.)
zuzutreffen.

Answer 5

Hi,
Teil (c)
aus $$ \int_0^1 \left( ax^3 -a^2x  \right) dx = \frac{a(1-2a)}{4} = -7  $$ folgt
\( a_1 = 4 \) und \( a_2 = - \frac{7}{2} \) Da \( a > 0 \) sein muss ist \( a_1 = 4 \) die Lösung.