es gilt für genügend große n:
n!kn=∏i=1nik=(∏i=1kik)(∏i=k+1nik)≡K∏i=k+1nik.
Man sieht, dass K=(∏i=1kik) eine Konstante ist.
Für ∏i=k+1nik gilt nun, dass es eine Nullfolge ist, denn
∏i=k+1nik≤(nk)n−k≤(k+1k)n−k⟶n→∞0
für genügend große n (n≥k+1).
Die Folge (nk)n−k ist sozusagen eine Majorante für die Folge ∏i=k+1nik.
In einer Zeile geschrieben kann man es für genügend große n so formulieren:
n!kn=(∏i=1kik)(∏i=k+1nik)≤(∏i=1kik)(k+1k)n−k→0.
Schöne Grüße
Mister