Sind die Vektoren linear unabhängig?

Question

Beweise oder widerlege diese Aussage:

Sei U ⊆ ℝⁿ und V⊆ ℝ^k Unterräume, ψ: U→V eine lineare Abbildung. Seien u1,..., u_i ∈ U Vektoren, sodass ψ(u1), ..., ψ(u_i) linear unabhängige Vektoren in V sind. Dann sind auch u1, ..., u_i ∈ U linear unabhängig.


DANKE!

Comments

u1 bis ui müssen linear unabhängig sein.

Du solltest das indirekt zeigen können. Nimm an, dass u1 linear abhängig ist von u2 bis ui.

Dann kannst du zeigen, dass f(u1) linear abhängig ist von f(u2) bis f(ui) und du hast den nötigen Widerspruch.

Anmerkung: Ich benutze f für psi.

Answer 1

sei a1*u1 + a2*u2 + .... + ai*ui = 0-Vektor,
( dann ist zu zeigen  alle ak sind = 0 )
jedenfalls ist dann
psi( a1*u1 + a2*u2 + .... + ai*ui ) = psi(0) =  0
und wegen Linearität
psi(a1*u1) + psi(a2*u2) + .....   psi(aiui) = 0
wieder wegen Lin.
a1*psi(u1) + a2*psi(u2) + .....   ai*psi(ui) = 0
und wegen lin. Unabh. von den psi-Bildern, also
a1=a2=....ai=0.     
                              q.e.d.