Berechne das unbestimmte Integral: von f(x)=( x+1)/(x2 + 1) -1/ (x2 + 4)

Question

das hier kommt nach der Partialbruchzerlegung meiner Funktion heraus:
(Bis hierhin ist auch noch alles richtig)

$$\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+4 } } dx$$

Ich habe versucht das ansatzweise mit den Formeln  $$\int { \frac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =arctan(x)$$
und
$$\int { arctan(\frac { x }{ a } } )dx\quad =\quad x\quad arctan(\frac { x }{ a } )\quad -\quad \frac { a }{ 2 } ln({ a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 })$$
aus meiner Integraltafel zu lösen. Aber leider komme ich nicht auf die richtige Lösung. Vielleicht könnt ihr mir da Schritt-für-Schritt weiterhelfen.

Der Aufgabe beiliegende Lösung: $$\frac { 1 }{ 2 } \ln { ({ x }^{ 2 }+1)+arctan(x)-\frac { 1 }{ 2 } } arctan(\frac { x }{ 2 } )+C$$

Answer 1

∫ 1/(x² + a) dx

1/a · ∫ 1/(x²/a + 1) dx

1/a · ∫ 1/((x/√a)² + 1) dx

Subst. z = x/√a ; 1 dz = 1/√a dx

1/a · ∫ 1/(z² + 1) √a dz

1/√a · ∫ 1/(z² + 1) dz

1/√a · ATAN(z)

Resubst

1/√a · ATAN(x/√a)

Comments

Den anderen Bruch erstmal aufteilen.

(x + 1)/(x² + 1) = x/(x² + 1) + 1/(x² + 1)

Der Rest sollte klar sein.

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Du solltest dann auf folgendes Ergebnis kommen:

∫ ((x + 1)/(x² + 1) - 1/(x² + 4)) dx = 1/2·LN(x² + 1) + ATAN(x) - 1/2·ATAN(x/2)

Answer 2

so geht es , s chau es Dir an: